АВТОМОРФИЗМ
(матем.), см. в ст. Изоморфизм (в математике).
АВТОМОРФНАЯ
ФУНКЦИЯ (от
авто... и греч. morphe - вид) (матем.), аналитическая функция,
значения к-рой не изменяются, если её аргумент подвергается нек-рым
дробно линейным преобразованиям. К А. ф. относятся периодич. функции и,
в частности, эллиптические функции.
Так, напр.,
если указанные преобразования - целые и имеют вид:
где
- комплексное число,
отличное от нуля, то получаются А. ф., характеризуемые ур-нием
т. е. периодич. функции с периодом
.
В этом примере преобразованием, не изменяющим функции, является сдвиг плоскости
на вектор со. Очевидно, что тот же сдвиг, повторённый сколько угодно раз,
также не изменяет функции. В результате получается группа линейных
область, к-рая каждым из этих преобразований отражается сама на себя. Тогда
функция f, однозначная и аналитическая в области G, является А.
ф. (по отношению к данной группе Г), если
,
. Наиболее важен случай,
когда G есть круг или полуплоскость. Такую область можно рассматривать
как изображение плоскости Лобачевского (см. Лобачевского геометрия),
а преобразования группы Г - как движения в плоскости Лобачевского.
Соответствующие А. ф. можно рассматривать как такое обобщение периодич.
функций, при к-ром сдвиги в евклидовой плоскости заменены движениями в
плоскости Лобачевского. Эта точка зрения, развитая А. Пуанкаре, обеспечила
успех в построении общей теории А. ф. (до А. Пуанкаре существенные результаты
теории А. ф. получены Ф. Клейном). Вообще, вся теория А. ф., в её
совр. состоянии, представляет замечат. пример плодотворности геом. идей
Н. И. Лобачевского в их применении к задачам математич. анализа и теории
функций.
К общим А.
ф., помимо вопросов конформного отображения, приводит также теория
линейных дифференциальных уравнений, изучение алгебр, кривых
порядка выше четвёртого (см. Алгебраическая геометрия), решение
алгебр, ур-ний (напр., решение общего ур-ния пятой степени с одним неизвестным
получается посредством А. ф.) и т. д.
Лит.: Форд
Л. Р., Автоморфные функции, пер. с англ., М.- Л., 1936; Клейн Ф., Лекции
о развитии математики в 19 столетии, пер. с нем., ч. 1, М.- Л., 1937, гл.
8; Голубев В. В., Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений,
2 изд.,М. -Л., 1950; его же, Однозначные аналитические функции. Автоморфные
функции, М., 1961.
А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я