АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
формулировка множеств теории в виде формальной (аксиоматической)
системы (см. Аксиоматический метод). Основным побудительным стимулом для
построения А. т. м.явилось открытие в "наивной" теории множеств Г. Кантора,
предназначенной для обоснования классич. математики, парадоксов (антиномий),
т. е. противоречий. Все эти парадоксы (напр., парадокс Кантора, связанный
с рассмотрением "множества всех множеств", или парадокс Рассела, в к-ром
рассматривается "множество всех множеств, не содержащих самих себя в качестве
элемента") обусловлены неограниченным применением в канторовой теории множеств
т. н. принципа свёртывания (или абстракции), согласно к-рому для всякого
свойства существует множество, состоящее из всех предметов, обладающих
этим свойством (этот принцип фактически содержится уже в первой фразе всех
традиционных изложений теории множеств: "мы будем рассматривать произвольные
множества элементов произвольной природы" и т. п.).
В первой из
известных систем А. т. м.- системе Цермело - Френкеля, или ZF (сформулирована
в 1908 Э. Цермело, пополнена в 1921-22 и позже А. Френкелем), принцип свёртывания
заменяется несколькими его частными случаями: аксиомой существования пары
{х,у} любых (данных) множеств х та. у, аксиомой существования объединения
всех элементов произвольного множества x в новое множество S (x), аксиомой
существования множества P(x) всех частей произвольного множества х, аксиомой
существования бесконечного множества и т. н. схемами аксиом выделения (согласно
к-рой для всякого множества х и свойства ф существует множество элементов
х, обладающих свойством ф) и подстановки (утверждающей, что для любого
взаимно однозначного отображения элементов множества x, описываемого на
языке системы ZF, существует множество таких z, на к-рые отображаются эти
элементы x). He подпадает под схему принципа свёртывания т. н. аксиома
выбора (о существовании "множества представителей", т. е. множества содержащего
в точности по одному элементу из каждого и-з данных непустых попарно непересекающихся
множеств). Как и во всякой другой системе А. т. м., в ZF постулируется
также аксиома объёмности (экстенсиональности), согласно к-рой множества,
состоящие из одних и тех же элементов, совпадают. Иногда к ZF присоединяют
и нек-рые др. аксиомы более спец. назначения. Формулы ZF получаются из
"элементарных формул" вида x е у ("x принадлежит у") средствами исчисления
предикатов.
Позднее были
построены многочисл. видоизменения ZF и систем, отличающихся от ZF тем,
что "плохие" (приводящие к парадоксам) совокупности элементов не вовсе
исключаются из рассмотрения, а признаются "собственно классами", т. е.
множествами, не могущими принадлежать в качестве элемента другим множествам
(эта идея, идущая от Дж.Неймана, была затем развита швейц. математиком
П. Бернайсом, К.Гёделем и др.). Системы эти, в отличие от ZF, могут быть
заданы посредством конечного числа аксиом.
Другой подход
к А. т. м. воплощён в теории типов Б. Рассела и А. Н. Уайтхеда (Англия,
1910-13) и её различных модификациях, в к-рых на аксиому свёртывания не
накладывают типичных для ZF и др. систем ограничений, но реформируют сам
язык теории: вместо одного алфавита переменных x, у, z.... вводится бесконечная
последовательность алфавитов x
[а при естеств. замене символики х
А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я