АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ раздел математики, изучающий алгебраические многообразия.
Так называются множества точек в я-мерном пространстве, координаты которых
(xсистемы уравнений:

где FF.., xк-рая является числом независимых параметров, определяющих точку на многообразии.
Алгебр, многообразия, имеющие размерность 1, наз. алгебраическими кривыми,
имеющие размерность 2 - алгебраическими поверхностями. Примерами алгебр,
кривых могут служить конические сечения.

Два алгебр,
многообразия наз. бирационально эквивалентным и, если координаты каждой
точки одного многообразия выражаются при помощи рациональных функций через
координаты точки другого многообразия, и наоборот. В А. г. алгебр, многообразия
обычно изучаются с точностью до бирациональной эквивалентности, поэтому
одной из осн. задач А. г. является построение бирациональных инвариантов
для алгебр, многообразий. Наиболее важные из известных бирациональных инвариантов
строятся с помощью средств матем. анализа (т. н. трансцендентных методов),
в особенности при помощи кратных интегралов по алгебр, многообразию. Кроме
трансцендентных методов, в А. г. часто применяются геометрич. методы проективной
геометрии, а также топология, методы (см. Топология). Последнее вызвано
тем, что некоторые важные бирациональные инварианты, напр, род кривой (см.
ниже), алгебр, многообразий носят топологич. характер. Особенно большую
роль играет связь А. г. с топологией в свете теоремы япон. математика Хиронака,
согласно к-рой всякое алгебр, многообразие бирационально эквивалентно многообразию,
не имеющему особых точек.

Наиболее разработанная
часть А. г. - теория алгебр- кривых. Основным бира-циональным инвариантом
алгебр, кривой является её род. Если алгебр, кривая плоская, т. е. задаётся
в декартовых координатах ур-нием F(x, у) = 0, то род кривой g = (m -l)(m
-2)/2 - d, где m - порядок кривой, ad - число её двойных точек. Род кривой
всегда есть целое неотрицательное число. Кривые рода нуль бирацио-нально
эквивалентны прямым, т. е, параметрически могут быть заданы при помощи
рациональных выражений. Кривые рода 1 могут быть параметризованы эллиптическими
функциями и поэтому наз. эллиптич. кривыми. Кривые рода больше 1 могут
быть параметризованы с помощью автоморфных функций. Каждая кривая рода
g, большего 1, с точностью до бирациональной эквивалентности однозначно
определяется 3g - 3 комплексными параметрами, к-рые сами пробегают нек-рое
алгебр-многообразие.

В многомерном
случае наиболее изученный класс алгебр, многообразий образуют абелевы многообразия.
Это - замкнутые подмногообразия проективного пространства, являющиеся одновременно
группами, причём так, что умножение задаётся рациональными выражениями.
Умножение на таком многообразии автоматически оказывается коммутативным.
Алгебр, кривая является абе левым многообразием тогда и только тогда, когда
она имеет род 1, т. е. является эллиптич. кривой.

Теория алгебр,
кривых и теория абелевых многообразий тесно связаны между собой. Всякая
алгебр, кривая рода, большего 0, канонически погружается в нек-рое абелево
многообразие, наз. якобиевым многообразием для данной кривой. Якобиево
многообразие является важным инвариантом кривой и почти полностью определяет
самоё кривую.

Исторически
А. г. возникла из изучения кривых и поверхностей низких порядков. Классификация
кривых третьего порядка была дана И. Ньютоном (1704). В 19 в. А. г. постепенно
переходит от изучения спец. классов кривых и поверхностей к постановке
общих проблем, относящихся ко всем многообразиям. Общая А. г. была построена
в кон. 19 и нач. 20 вв. в трудах нем. математика М. Нётера, итал. математиков
Ф. Энрикеса, Ф. Севе-ри и др. Своего расцвета А. г. достигает в 20 в. (работы
франц. математика А. Вей-ля, амер. математика С. Лефшеца и др.). Крупные
достижения в А. г. имеют сов. математики Н. Г. Чеботарёв, И. Г. Петровский,
И. Р. Шафаревич.

А. г. является
одним из наиболее интенсивно развивающихся разделов математики. .Методы
А. г. оказывают огромное влияние на такие смежные с А. г. разделы математики,
как теория функций многих комплексных переменных, теория чисел, а также
на более далёкие от А. г. разделы математики - такие, как уравнения в частных
производных, алгебр, топология, теория групп и др.

Лит.: Ван-дер-Варден
Б. Л., Современная алгебра, пер. с нем., [2 изд.], ч. 1 - 2, М.- Л., 1947;
Чеботарёв Н. Г., Теория алгебраических функций, М.- Л., 1948; ХоджВ., ПидоД.,
Методы алгебраической геометрии, пер. с англ.,т. 1 - 3, М., 1954 - 55;
Алгебраические поверхности, М., 1965; W e i I A., Foundations of algebraic
geometry, N. Y., 1946.

Б. Б. Венков.

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я