АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ функция, удовлетворяющая алгебраическому уравнению. А. ф.
принадлежат к числу важнейших функций, изучаемых в математике. Из них многочлены
и частные много

рациональными,
а прочие А. ф.- иррациональными. Простейшими примерами последних могут
служить А. ф., выражаемые с помощью радикалов [напр.,

. Однако существуют А. ф., к-рые невозможно выразить через радикалы [напр.,
функция у = f (x), удовлетворяющая ур-нию: у⁵ + 5ух⁴
+ + 5x⁵ = 0]. Примерами неалгебр., т. н. трансцендентных функций,
встречающихся в школьном курсе алгебры, являются: степенная х^a
(если а - иррациональное число), показательная а^x, логарифмическая
и т. д. Общая теория А. ф. представляет обширную математич. дисциплину,
имеющую важные связи с теорией аналитических функций (А. ф. составляют
спец. класс аналитич. функций), алгеброй и алгебраической геометрией. Самая
общая А. ф. многих переменных u =f(x, у, z,...) определяется как функция,
удовлетворяющая ур-нию вида:

где
- какие-либо многочлены относительно х, у, z,... . Всё выражение,< стоящее
в левой части, представляет нек-рый многочлен относительно x, у, z,...
и u. Его можно считать неприводимым, т. е. не разлагающимся в произведение
многочленов более низких степеней; кроме того, многочлен Рможно считать не равным тождественно нулю. Если п - 1, то и представляет
рациональную функцию (u = -Pк-рой - целой рациональной функцией - является многочлен (если P<> 0). При n>1 получается иррациональная функция; если п = 2, то она
выражается через многочлены с помощью квадратного корня; если п = 3 или
п = 4, то для и получается выражение, содержащее квадратные и кубич. корни.

При n>= 5 иррациональная
функция и уже не может быть выражена (в общем случае) через конечное число
каких бы то ни было корней из многочленов. Иррациональная А. ф. всегда
многозначна, а именно (при наших обозначениях и предположениях) является
n-значной аналитич. функцией переменных х, у, z,...

Лит.: Чеботарёв
Н. Г., Теория алгебраических функций, М.- Л., 1948.

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я