АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ЧИСЛО

АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ЧИСЛО число а, удовлетворяющее алгебр. уравнению

где n<=1,

- целые (рациональные) числа. Число а наз. целым А. ч., если a= 1. Если многочлен

не является произведением двух др. многочленов положит, степени с рациональными
коэфф., то число n наз. степенью А. ч. а. Простейшие А.ч.- корни двучленного
ур-ния xⁿ= a, где а-рациональное число. Напр., А. ч. будут рациональные
числа, числа целыми А. ч. будут целые числа, числа

С понятием А. ч. тесно связаны два больших направления в теории чисел.
1) Арифметика А. ч. (алгебр.теория чисед), созданная Э. Куммером в сер.
19 в., изучает свойства А. ч. Целые А. ч. обладают рядом свойств, аналогичных
свойствам целых рациональных чисел, однако теорема об единственности разложения
числа на простые множители не имеет места в теории целых А. ч. Для сохранения
единственности разложения Куммер ввёл в рассмотрение т. н. "идеальные"
числа (см. Идеал). 2) Теория приближения А. ч. изучает степень приближения
А. ч. рациональными числами или алгебр, же числами. Первым результатом
в этом направлении была теорема Ж. Лиувилля, показывающая, что А. ч. "плохо"
приближаются рациональными числами, точнее: если а - А. ч. степени п, то
при любых целых рациональных р и q имеет место неравенство
, где С= =-постоянная, не зависящая от р и q;
отсюда следует, что легко построить произвольное количество неалгебраических
- трансцендентных чисел.

Лит.: Гекке
Э., Лекции по теории алгебраических чисел, пер. с нем., М.- Л., 1940; Гельфонд
А. О., Трансцендентные и алгебраические числа, М., 1952; Боревич 3. И.,
Шафаревич И. Р., Теория чисел, М., 1964. А. А. Карациба.

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я