Значение А.
А. в науке встречаются на каждом шагу; умение решать задачу "в общем
виде" всегда означает, по существу, владение нек-рым А. Говоря, напр.,
об умении человека складывать числа, имеют в виду не то, что он для любых
двух чисел рано или поздно сумеет найти их сумму, а то, что он владеет
нек-рым единообразным приёмом сложения, применимым к любым двум конкретным
записям чисел, т. е., иными словами, А. сложения (примером такого А. и
является известное правило сложения чисел столбиком). Понятие задачи "в
общем виде" уточняется при помощи понятия массовая проблема (м. п.). М.п.
задаётся серией отдельных, единичных проблем и состоит в требовании найти
общий метод (то есть А.) их решения. Так, проблема численного решения уравнений
данного типа и проблема автоматич. перевода суть м. п.: образующими их
единичными проблемами являются в 1-м случае проблемы численного решения
отдельных уравнений данного типа, а во 2-м случае - проблемы перевода отдельных
фраз. Ролью м. п. и определяется как значение, так и сфера приложения понятия
А. М. п. чрезвычайно характерны н важны для математики: напр., в алгебре
возникают м. п. проверки алгебр, равенств различных типов, в матем. логике
- м. п. распознавания выводимости предложений из заданных аксиом и т. п.
(для матем. логики понятие А. существенно ещё и потому, что на него опирается
центральное для матем. логики понятие исчисления, служащее обобщением и
уточнением интуитивных понятий "вывода" и "доказательства"). Установление
неразрешимости к.-л. массовой проблемы (напр., проблемы распознавания истинности
или доказуемости для к.-л. логико-матем. языка), т. е. отсутствия единого
А., позволяющего найти решения всех единичных проблем данной серии, является
важным познават. актом, показывающим, что для решения конкретных единичных
проблем принципиально необходимы специфические для каждой такой проблемы
методы. Существование неразрешимых м. п. служит, т. о., проявлением неисчерпаемости
процесса познания.
Содержательные
явления, к-рые легли в основу образования понятия "А.", издавна занимали
важное место в науке. С древнейших времён мн. задачи математики заключались
в поисках тех или иных конструктивных методов. Эти поиски, особенно усилившиеся
в связи с созданием удобной символики, а также осмысления принципиального
отсутствия искомых методов в ряде случаев (задача о квадратуре круга и
подобные ей) - всё это было мощным фактором развития науч. знаний. Осознание
невозможности решить задачу прямым вычислением привело к созданию в 19
в. теоретико-множественной концепции. Лишь после периода бурного развития
этой концепции (в рамках к-рой вопрос о конструктивных методах в современном
их понимании вообще не возникает) оказалось возможным в сер. 20 в. вновь
вернуться к вопросам конструктивности, но уже на новом уровне, обогащённом
выкристаллизовавшимся понятием А. Это понятие легло в основу
особого конструктивного
направления в математике.
Само слово
"А." происходит от algo-rithmi, являющегося, в свою очередь, лат. транслитерацией
арабского имени хорез-мийского математика 9 в. аль-Хорезми. В cp.-век.
Европе А. наз. десятичная позиционная система счисления и искусство счёта
в ней, поскольку именно благодаря лат. переводу (12 в.) трактата аль-Хорезми
Европа познакомилась с позиционной системой.
А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я