АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ раздел геометрии. Основными понятиями А. г. являются простейшие
геом. образы (точки, прямые, плоскости, кривые и поверхности второго порядка).
Основными средствами исследования в А. г. служат метод координат (см. ниже)
и методы элементарной алгебры. Возникновение метода координат тесно связано
с бурным развитием астрономии, механики и техники в 17 в. Отчётливое и
исчерпывающее изложение этого метода и основ А. г. было сделано Р. Декартом
в его "Геометрии" (1637). Основные идеи метода были известны также его
современнику П. Ферма. Дальнейшая разработка А. г. связана с трудами Г.
Лейбница, И. Ньютона и особенно Л. Эйлера. Средствами А. г. пользовался
Ж. Лагранж при построении аналитич. механики и Г. Монж в дифференциальной
геометрии. Ныне А. г. не имеет самостоятельного значения как наука, однако
её методы широко применяются в различных разделах математики, механики,
физики и др. наук.

Сущность метода
координат заключается в следующем. Рассмотрим, напр., на плоскости л две
взаимно перпендикулярные прямые Ox и Оу (рис. 1). Эти прямые с указанным
на них направлением, началом координат О и выбранной масштабной единицей
е образуют т. н. дскартову прямоугольную систему координат Оху на плоскости.
Прямые Ox и Оу наз. соответственно осью абсцисс и осью ординат. Положение
любой точки М на плоскости по отношению к этой системе Оху можно определить
следующим образом. Пусть Ми Оу, а числа х и у - величины отрезков ОМ(величина x отрезка ОМсо знаком плюс, если направление от О к М, совпадает с направлением на
прямой Ox, и со знаком минус в противоположном случае). Числа x и у наз.
декартовыми прямоугольными координатами точки М в системе Оху. Обычно они
наз. соответственно абсциссой и ординатой точки М. Для обозначения точки
М с абсциссой x и ординатой у пользуются символом М(х,у). Ясно, что координаты
точки М определяют её положение относительно системы Оху.

Пусть на плоскости
л с данной декартовой прямоугольной системой координат Оху задана нек-рая
линия L. Используя понятие координат точек, можно ввести понятие ур-ния
данной линии L относительно системы Оху как соотношения вида F(x,y) = 0,
к-рому удовлетворяют координаты x и у любой точки М, расположенной на L,
и не удовлетворяют координаты каждой точки, не лежащей на L. Если, напр.,
линия L является окружностью радиуса R с центром в начале координат О,
то ур-ние x² + у²-R² = 0 будет ур-нием
рассматриваемой окружности, в чём можно убедиться, обратившись к рис. 2.
Если точка М лежит на окружности, то по теореме Пифагора для треугольника
ОММ2 + у² - R²
=0. Если же точка не лежит на окружности, то, очевидно,
Итак, линии L на плоскости можно сопоставить её ур-ние F(x,y) = 0 относительно
системы координат Оху.

Основная идея
метода координат на плоскости состоит в том, что геом. свойства линии L
выясняются путём изучения аналитич. и алгебр, средствами свойств ур-ния
F(x,y) = 0 этой линии. Напр., применим метод координат для выяснения числа
точек пересечения окружности С радиуса R и данной прямой линии В (рис.
3). Пусть начало системы координат Оху находится в центре окружности, а
ось Ox направлена перпендикулярно прямой В. Так как прямая В перпендикулярна
оси Ox, то абсцисса любой точки этой прямой равна нек-рой постоянной а.
Т. о., ур-ние прямой В имеет вид x-а = 0. Координаты (х, у) точки пересечения
окружности С (ур-ние к-рой имеет вид x² + y² - R²
= 0) и прямой В удовлетворяют одновременно ур-ниям то есть являются решением
системы (1). Следовательно, геом. вопрос о числе точек пересечения прямой
и окружности сводится к аналитич. вопросу о числе решений алгебраической
системы (1). Решая эту систему, получают х - а, у = ± R² - a².
Итак, окружность и прямая могут пересекаться в двух точках (R²
> а²) (этот случай изображён на рис. 3), могут иметь одну общую
точку (R² = a²) (в этом случае прямая В касается
окружности С) и не иметь общих точек (R²<a²) (в
этом случае прямая В лежит вне окружности С).

В А. г. на
плоскости подробно изучаются геом. свойства эллипса, гиперболы и параболы,
представляющих собой линии пересечения кругового конуса с плоскостями,
не проходящими через его вершину (см. Конические сечения). Эти линии часто
встречаются во многих задачах естествознания и техники. Напр., движение
материальной точки под воздействием центрального поля силы тяжести происходит
по одной из этих линий; в инженерном деле для конструирования прожекторов,
антенн и телескопов пользуются важным оптич. свойством параболы, заключающимся
в том, что лучи света, исходящие из определённой точки (фокуса параболы),
после отражения от параболы образуют параллельный пучок.

В А. г. на
плоскости систематически исследуются т. н. алгебраические линии первого
и второго порядков (эти линии в декартовых прямоугольных координатах определяются
соответственно алгебр, ур-ниями первой и второй степени). Линии первого
порядка суть прямые, и обратно, каждая прямая определяется алгебр, ур-нием
первой степени Ах + + By + С = 0. Линии второго порядка определяются ур-ниями
вида Ах² + + Вху+ Су² + Dx + Еу + F = 0. Основной
метод исследования и классификации этих линий заключается в подборе такой
декартовой прямоугольной системы координат, в к-рой ур-ние линии имеет
наиболее простой вид, и последующем исследовании этого простого ур-ния.
Можно доказать, что таким способом ур-ние любой вещественной линии второго
порядка может быть приведено к одному из следующих простейших видов:

Первое из этих
ур-ний определяет эллипс, второе - гиперболу, третье - параболу, а последние
два -•- пару прямых (пересекающихся, параллельн-ых или слившихся).

В А. г. в пространстве
также пользуются методом координат. При этом декартовы прямоугольные координаты
x, у и z (абсцисса, ордината и апликата) точки М вводятся в полной аналогии
с плоским случаем (рис. 4). Каждой поверхности S в пространстве можно сопоставить
её ур-ние F (х, у, r) = 0 относительно системы координат Oxyz. (Так, напр.,
ур-ние сферы радиуса R с центром в начале координат имеет вид х²
+ у² + z² - R² = 0.) При этом геом.
свойства поверхности S выясняются путём изучения аналитич. и алгебр, средствами
свойств ур-ния этой поверхности. Линию L в пространстве задают как линию
пересечения двух поверхностей Si и S= 0 и Fпара этих ур-ний, рассматриваемая совместно, представляет собой ур-ние
линии L. Напр., прямую L в пространстве можно рассматривать как линию пересечения
двух плоскостей. Так как плоскость в пространстве определяется ур-нием
вида Ах + By + Cz + + D = 0, то пара ур-ний такого вида, рассматриваемая
совместно, представляет собой ур-ние прямой L. Т. о., метод координат может
применяться и для исследования линий в пространстве. В А. г. в пространстве
систематически исследуются т. н. алгебраические поверхности первого и второго
порядков. Выясняется, что алгебр, поверхностями первого порядка являются
лишь плоскости. Поверхности второго порядка определяются ур-ниями вида:

Основной метод
исследования и классификации этих поверхностей заключается в подборе такой
декартовой прямоугольной системы координат, в к-рой ур-ние поверхности
имеет наиболее простой вид, и последующем исследовании этого простого ур-ния.
Важнейшими вещественными поверхностями второго порядка являются эллипсоиды,
однополостный и двуполостный гиперболоиды, эллиптич. и гиперболич. параболоиды.
Эти поверхности в специально выбранных декартовых прямоугольных системах
координат

имеют следующие
ур-ния: (эллипсоид),
(однополостный гиперболоид)

<,

тела, теоретич.
физике и инженерном деле. Так, при изучении напряжений, возникающих в твёрдом
теле, пользуются понятием т. н. эллипсоид напряжений. В различных инженерных
сооружениях применяются конструкции в форме гиперболоидов и параболоидов.

Лит.: Декарт
Р., Геометрия, [пер. с франц.], М. -Л., 1938; Вилеитнер Г., История математики
от Декарта до середины XIX столетия, пер. с нем., 2 изд., М., 1966; Ефимов
Н. В., Краткий курс аналитической геометрии, 9 изд., М., 1967; Ильин В.
А., Позняк Э. Г., Аналитическая геометрия, М., 1967; Александров П. С.,
Лекции по аналитической геометрии, М., 1968; Бахвалов С. В., Моденов П.
С., Пархоменко А. С., Сборник задач по аналитической геометрии, 3 изд.,
М., 1964; Клетеник Д. В., Сборник задач по аналитической геометрии, 9 изд.,
М., 1967.

Э. Г. Лозняк.

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я