АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ
сравнительно
простая элементарная функция, приближённо равная (с как угодно малой относительной
погрешностью) более сложной функции при больших значениях аргумента (или
при значениях аргумента, близких к данному значению, напр. нулю); А. в.
иногда наз. также асимптотической формулой или оценкой. Точное определение:
функция
является А. в. для f(x) при
(или
),
если
при
(или
),
или, что то же самое, если
где
при
(или
).
В этом случае пишут:
при
(или
).
Как правило,
должна быть легко вычислимой
функцией. Простейшими примерами
А. в. при
могут служить
Более сложные А. в. при x->оo
возникают для важных функций из теории чисел и спец. функций матем. физики.
Напр.,
- число простых чисел, не превосходящих
x,
где
- гамма-функция; для целочисленных значений х = п имеем
что приводит к Стирлинга
формуле:
при
.
Ещё более сложными А. в. обладают, напр.,< Бесселя функции.
А. в. рассматриваются также
в комплексной плоскости
Так,< напр.,
при
и
А. в. является, вообще говоря,
частным случаем (главным членом) более сложных (и точных) приближённых
выражений, называемых асимптотическими рядами, или разложениями.
Лит.: де Брёйн Н. Г., Асимптотические
методы в анализе, пер. с англ., М., 1961; Евграфов М. А., Асимптотические
оценки и целые функции, 2 изд., М., 1962.
В. И. Левин.
А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я