АФФНИНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
точечные
взаимно однозначные отображения плоскости (пространства) на себя, при к-рых
прямые переходят в прямые. Если на плоскости задана декартова система координат,
то любое А. п. этой плоскости может быть определено посредством т. н. невырожденного
линейного преобразования координат x и у точек этой плоскости. Такое преобразование
задаётся формулами х'=ах + bу+р, y' - cx + dy + q с дополнительным требованием
ab,cd = ad - bc =/0. Аналогично, любое А. п. пространства может быть определено
при помощи невырожденных линейных преобразований координат точек пространства.
Совокупность всех А. п. плоскости (пространства) на себя образует группу
А. п. Это означает, в частности, что последовательное проведение двух А.
п. эквивалентно нек-рому одному А. п.
Примерами А. п. могут служить
ортогональное преобразование (это преобразование представляет собой
движение плоскости или пространства или движение с зеркальным отражением);
преобразование п о д об и я; равномерное "с ж а т и е" (рис.). Равномерное
"сжатие" с коэффициентом k плоскости я к расположенной на ней прямой а
- преобразование, при к-ром точки а остаются на месте, а каждая не лежащая
на а точка М плоскости я смещается по лучу, проходящему через М перпендикулярно
а, в такую точку М;
что отношение расстояний
от М и .М 'до а равно k; аналогично определяется равномерное "сжатие" пространства
к плоскости. Всякое А. п. плоскости можно получить, выполнив нек-рое ортогональное
преобразование и последовательное "сжатие" к нек-рым двум перпендикулярным
прямым. Любое А. п. пространства можно осуществить посредством нек-рого
ортогонального преобразования и последовательных "сжатий" к нек-рым трём
взаимно перпендикулярным плоскостям. При А. п. параллельные прямые и плоскости
преобразуются в параллельные прямые и плоскости. Свойства А. п. широко
используются в различных разделах математики, механики и теоретич. физики.
Так, в геометрии А. п. применяются для т. н. аффинной классификации фигур.
В механике А. п. пользуются при изучении малых деформаций непрерывной сплошной
среды; при таких деформациях малые элементы среды в первом приближении
подвергаются А. п.
Лит.: Мусхелишвили Н. И.,
Курс аналитической геометрии, 4 изд., М., 1967; Александров П. С., Лекции
по аналитической геометрии, М., 1968; Е ф и-мов Н. В., Высшая геометрия,
4 изд., М., 1961. Э. Г. Лозняк.
А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я