БЕСКОНЕЧНОСТЬ

БЕСКОНЕЧНОСТЬ в математике.
"Математическое бесконечное заимствовано из действительности, хотя и бессознательным
образом, и поэтому оно может быть объяснено только из действительности,
а не из самого себя, не из математической абстракции" (Энгельс Ф., Анти-Дюринг,
1966, с. 396). Материальная основа математич. бесконечного может быть понята
только при условии, что оно рассматривается в диалектич. единстве с конечным.
Каждая математич. теория связана обязательным для неё требованием внутренней
формальной непротиворечивости. Поэтому возникает вопрос о том, как соединить
это требование с существенно противоречивым характером действительности
Б. "Уничтожение этого противоречия было бы концом бесконечности" (там же,
с. 47). Ответ на этот вопрос заключается в следующем. Когда в теории пределов
рассматриваются бесконечные пределы lim а,
или в теории множеств -бесконечные мощности, то это не приводит к внутренним
формальным противоречиям в указанных теориях лишь потому, что эти различные
спец. виды математич. Б. являются лишь крайне упрощёнными, схематизированными
образами различных сторон Б. действит. мира. Задачи настоящей статьи ограничиваются
указанием на различные подходы к Б. в математике, освещаемые подробнее
в других статьях.

1) Представление о бесконечно
малых и бесконечно больших переменных величинах является одним
из основных в математич. анализе. Предшествовавшая совр. подходу к понятию
бесконечно малой концепция, по к-рой конечные величины составлялись из
бесконечно большого числа бесконечно малых "неделимых" (см. "Неделимых"-
метод), трактовавшихся не как переменные, а как постоянные и меньшие
любой конечной величины, может служить одним из примеров незаконного отрыва
бесконечного от конечного: реальный смысл имеет только разложение конечных
величин на неограниченно возрастающее число неограниченно убывающих слагаемых.

2) Совсем в другой логич. обстановке
Б. появляется в математике в виде "несобственных" бесконечно удалённых
геометрич. образов (см. Бесконечно удалённые элементы). Здесь, напр.,
бесконечно удалённая точка на прямой а рассматривается как особый
постоянный объект, "присоединённый" к обычным конечным точкам. Однако неразрывная
связь бесконечного с конечным обнаруживается и здесь, хотя бы при проектировании
из центра, лежащего вне прямой, при к-ром бесконечно удалённой точке оказывается
соответствующей прямая, проходящая через центр проектирования и параллельная
осн. прямой а.

Аналогичный характер имеет пополнение
системы действит. чисел двумя "несобственными" числами + БЕСКОНЕЧНОСТЬ
и -БЕСКОНЕЧНОСТЬ, соответствующее многим запросам анализа и теории
функций действит. переменного. Можно подойти с такой же точки зрения и
к пополнению ряда натуральных чисел 1, 2, 3, ..., трансфинитными числами
w, w + 1, ..., 2w, 2w + 1, .... В связи с различием между переменными
бесконечно малыми и бесконечно большими величинами, с одной стороны, и
-"несобственными" бесконечно большими числами, рассматриваемыми как постоянные,-
с другой, возникли термины "потенциальная" Б. (для первых) и "актуальная"
Б. (для вторых). В этом первоначальном понимании (о другом, совр. понимании,
см. ниже) спор между сторонниками актуальной и потенциальной Б. можно считать
законченным. Бесконечно малые и бесконечно большие, лежащие в основе определения
производной (как отношения бесконечно малых) и интеграла (как суммы бесконечно
большого числа бесконечно малых) и примыкающих сюда концепций математич.
анализа, должны восприниматься как "потенциальные". Наряду с этим в надлежащей
логич. обстановке в математику вполне закономерно входят и "актуальные"
бесконечно большие "несобственные" числа (и даже во многих различных аспектах:
как количественные и порядковые трансфинитные числа в теории множеств,
как несобственные элементы -(-БЕСКОНЕЧНОСТЬ и - БЕСКОНЕЧНОСТЬ
системы действит. чисел и т. д.).

В математике приходится иметь дело
с двумя способами присоединения к числовой системе бесконечных "несобственных"
элементов.

а) С проективной точки зрения на
прямой находится одна "бесконечно удалённая точка". В обычной метрич. системе
координат этой точке естественно приписать абсциссу БЕСКОНЕЧНОСТЬ.
Такое же присоединение к числовой системе одной Б. без знака употребляется
в теории функций комплексного переменного. В элементарном анализе при изучении
рациональ-

Q(x) - многочлены, в тех точках,
где Q(x) имеет нуль более высокого порядка, чем Р(х), естественно
положить f(x)=БЕСКОНЕЧНОСТЬ. Для несобственного элемента БЕСКОНЕЧНОСТЬ
устанавливаются такие правила действий:

Неравенства с участием БЕСКОНЕЧНОСТЬ
не
рассматриваются: бессмысленно спрашивать, больше или меньше БЕСКОНЕЧНОСТЬ,
чем конечное а. 6) При изучении действит. функций действит. переменного
систему действит. чисел дополняют двумя несобственными элементами + БЕСКОНЕЧНОСТЬ
и - БЕСКОНЕЧНОСТЬ. Тогда можно положить, что -БЕСКОНЕЧНОСТЬ<а<
+ БЕСКОНЕЧНОСТЬ для любого конечного а, и сохранить осн.
свойства неравенств в расширенной числовой системе. Для + оо и - БЕСКОНЕЧНОСТЬ
устанавливаются такие правила действий:

В каждом математич. рассуждении следует
отдавать себе отчёт, пользуемся мы в нём настоящей (не расширенной) числовой
системой или расширенной, и в каком именно из двух указанных смыслов.

3) Осн. интерес, но и осн. трудности
математич. учения о Б. сосредоточиваются сейчас на вопросе о природе бесконечных
множеств математич. объектов. Следует, в частности, иметь в виду, что достигнутая
ныне полная отчётливость и законченность теории бесконечно больших и бесконечно
малых переменных величин заключается лишь в сведении всех трудностей этой
теории к вопросу обоснования учения о числе, в к-рое существенно входит
представление о Б. системы чисел. Утверждение о том, что у бесконечно
мало, имеет смысл только при указании характера изменения у в зависимости
от к.-л. другого переменного х; напр., говорят, что у бесконечно
мало при х->а, если при любом е>0 существует такое б>0, что
из |х-а|<б вытекает |у|<е. В самое это определение
уже входит предположение, что функция y - f(x) определена для бесконечного
множества значений х (напр., для всех действительных х, достаточно
близких к а). О бесконечных множествах в математике подробнее см.
Множеств
теория.

В теории множеств терминам "актуальная"
и "потенциальная" Б. придают обычно глубокий смысл, не имеющий ничего общего
с наименованием каждой бесконечной мощности "актуально бесконечным числом".
Дело в том, что бесконечные системы математич. объектов (напр., натуральных
или действит. чисел) никогда не задаются простым перечислением, как это
возможно для конечных систем объектов. Было бы очевидным абсурдом предполагать,
что кто-либо "образовал" множество натуральных чисел, перечислив их фактически
"все" одно за другим. На самом деле множество натуральных чисел изучают,
исходя из процесса образования его элементов переходом от n к n + 1. В
случае континуума действит. чисел уже рассмотрение одного его элемента
- действит. числа -приводит к изучению процесса образования его последовательных
приближённых значений, а рассмотрение всего множества действит. чисел приводит
к изучению общих свойств такого рода процессов образования его элементов.
В этом именно смысле сама Б. натурального ряда, или системы всех действит.
чисел (континуумы), может характеризоваться как Б. лишь "потенциальная".
Точке зрения потенциальной Б. противополагается взгляд на бесконечные множества
как "актуально" заданные, независимо от процесса их образования. Выяснение
вопроса о том, в какой мере и при каких условиях при изучении бесконечных
множеств законно такое абстрагирование от процесса их образования, ещё
нельзя считать законченным. См. Множеств теория, Логика, Математика.
Л. Н. Колмогоров.