БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ ЗАКОН

БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ ЗАКОН общий принцип,
в силу к-рого совокупное действие большого числа случайных факторов приводит,
при нек-рых весьма общих условиях, к результату, почти не зависящему от
случая. Точная формулировка и условия применимости Б. ч. з. даются в теории
вероятностей. Б. ч. з. является одним из выражений диалектич. связи между
случайностью и необходимостью. Первая точно доказанная теорема принадлежит
Я. Бернулли (опубликована после его смерти, в 1713, см. Бернулли
теорема). Теорема Бернулли была обобщена С. Пуассоном, в сочинении
к-рого "Исследование о вероятности суждения" (1837) впервые появился термин
"закон больших чисел". Значительно более общее понимание этого термина
основано на работе П. Л. Чебышева "О средних величинах" (1867).
В этом современном понимании Б. ч. з. утверждает, что при нек-рых подлежащих
точному указанию условиях среднее арифметическое достаточно большого числа
п
случайных
величин Хс вероятностью, сколь угодно близкой к единице,
сколь угодно мало отличается от своего математического ожидания а =
Е(х). Новым и весьма плодотворным оказался предложенный Чебышевым метод
доказательства Б. ч. з., основанный на применении т. н.
Чебышева неравенства.

х = (хХ+...+
Х)/n

Для независимых случайных величин, имеющих
одинаковые распределения вероятностей и конечное математич. ожидание а,
Б.
ч. з. утверждает, что при любом е>0 вероятность неравенства |х - а|<e
стремится
к единице при n-> бесконечнось. Порядок отклонений
х от
а указывается
предельными
теоремами теории вероятностей. В типичных случаях отклонения имеют
порядок 1/корень из n. Соответственно, случайные отклонения суммы
х=
х+ ...+
хот её
математич. ожидания па растут как корень из п.
Этот факт
(называемый в упрощённых популярных изложениях "законом корня квадратного
из n") даёт нек-рое, хотя и грубое, представление о характере действия
Б. ч. з. Наглядное объяснение смысла и значения Б. ч. з. даёт следующий
пример. Пусть в замкнутом сосуде заключено N молекул газа. В соответствии
с кинетич. теорией каждая молекула беспорядочно движется внутри сосуда,
испытывая множество столкновений с другими молекулами и стенками сосуда.
Ударяясь о какую-либо площадку о стенки в течение выбранного промежутка
времени в t секунд, отдельная молекула сообщает этой площадке импульс
f(см. Ударный импульс). Импульс
fявляется
типичной случайной величиной, т. к. состояние рассматриваемого газа определяет
лишь математич. ожидание а = E(f) этого импульса,
фактич. же значение импульса данной молекулы за данный промежуток времени
может быть самым различным (начиная от нуля - в случае, если за данный
промежуток времени данная молекула не ударялась о площадку 0).

Сумма импульсов всех молекул, сообщаемых
площадке а за данный промежуток времени, является также случайной величиной
с математич. ожиданием, равным А = Na. Однако в силу Б. ч. з. (к-рый
проявляется здесь с исключительной точностью благодаря тому, что число
N
очень
велико) F в действительности оказывается почти независимым от случайных
обстоятельств движения отдельных молекул, а именно - почти точно равным
своему математич. ожиданию А. Этим, с точки зрения кине-тич. теории,
и объясняется тот факт, что давление газа на площадку а является практически
строго постоянным, а не колеблется беспорядочно.

Часто приходится применять Б. ч. з. и в
такой обстановке, когда количество случайных слагаемых не столь велико,
как в примере с газовыми молекулами; тогда отклонения суммы случайных величин
от её математич. ожидания могут быть значительными. В этом случае крайне
важно уметь оценивать размеры этих отклонений. Пусть, напр., из 1000 партий
к.-л. изделий, по 100 шт. в каждой, взято для испытания наудачу по 10 шт.
из каждой партии и среди испытанных 10 000 шт. обнаружено 125 дефектных.
Если обозначить пчисло дефектных изделий в к-й партии,
то обшее число дефектных изделий равно

математич. ожидание числа дефектных изделии
среди тех десяти, к-рые взяты для испытаний из к-й партии, равно S(¹⁰/,
а математич. ожидание общего числа дефектных изделий в 1000 пробах по 10
штук равно

В силу Б. ч. з. естественно считать, что
n/100