ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
математическая дисциплина, посвящённая отысканию экстремальных
(наибольших и наименьших) значений функционалов - переменных величин, зависящих
от выбора одной или неск. функций. В. и. является естеств. развитием той
главы матем. анализа, к-рая посвящена задаче отыскания экстремумов функций.
Возникновение и развитие В. и. тесно связано с задачами механики, физики
и т. д. Одной из первых задач В. и. была знаменитая задача о брахистохроне
(И. Бернулли, 1696): определить форму кривой, лежащей в вертикальной
плоскости, по к-рой тяжёлая материальная точка, двигаясь под действием
только одной силы тяжести и не имеющая начальной скорости, перейдёт из
верх, положения А в ниж. положение В за минимум времени.
Эта задача сводится к отысканию функции у(х), доставляющей минимум
функционалу
где а и
b - абсциссы точек Л -и В.
Другой такой
же "исторической" задачей является задача об отыскании пути, вдоль к-рого
распространяется свет, идущий от источника света (точка А) к нек-рой
точке В, в среде с переменной оптич. плотностью (т. е. в среде,
где скорость распространения v есть функция координат). Для решения
этой задачи может быть использован т. н. Ферма принцип, согласно
к-рому из всех кривых, соединяющих точки А и В, луч света распространяется
вдоль той, по к-рой свет приходит из Л в В за кратчайшее время. В простейшем
случае, когда свет распространяется в плоскости, задача сводится к отысканию
кривой у(х), доставляющей
минимум функционалу.
Из разрозненных
задач подобного рода постепенно в 18 в. начало формироваться В. и. Но и
после оформления В. и. в самостоят, дисциплину она продолжала оставаться
связанной с различными проблемами механики и физики. На протяжении 2-й
пол. 18 в. и всего 19 в. делались интенсивные попытки построить здание
механики, опираясь на нек-рые общие вариац. принципы (см. Вариационные
принципы механики). Со 2-й пол. 19 в. начинают разрабатываться различные
вариац. принципы в механике сплошных сред, затем позднее в квантовой механике,
электродинамике и т. д. Возникают вариац. принципы и в средах с диссипацией
энергии. Исследования во всех подобных областях продолжают служить базой
формирования новых задач В. и. и областью приложения её методов. Однако
со временем появились и новые классы задач, далеко раздвинувших традиционные
границы дисциплины и превративших В. и. в одну из наиболее обширных ветвей
современной математики, включающей в себя, с одной стороны, самые абстрактные
вопросы, относящиеся в равной степени к топологии и функциональному анализу,
а с другой - разнообразные вычислительные методы решения технических или
экономических задач.
А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я