Прямые методы. В.

Прямые методы. В. и. как самостоят, науч. дисциплина сформировалась в 18 в., гл. обр.
благодаря работам Л. Эйлера.

Простейшей
задачей В. и. называют задачу отыскания функции x(t), доставляющей
экстремум функционалу

(1)

где F -
непрерывная и дифференцируемая функция своих аргументов. При этом функция
x(t) должна удовлетворять след, условиям:

а) она должна
быть кусочно дифференцируемой,

б) при t
= tи t = T она должна принимать значения

(2)

Обе задачи,
рассмотренные в начале статьи, являются частными случаями простейшей задачи
В. и.

Первые вариац.
задачи были задачами механики. Они были поставлены в 18 в. и, следуя традициям
того времени, первый вопрос, на к-рый надо было ответить, был вопрос о
способе фактич. отыскания функции x(t), реализующей минимум функционала
(1).

Эйлер создал
численный метод решения задач В. и., к-рый получил назв. Эйлера метода
ломаных. Этот метод был первым среди большого класса т. н. прямых
методов; все они основаны на редукции задачи отыскания экстремума функционала
к задаче отыскания экстремума функции многих переменных. Поскольку для
получения решения с высокой точностью задачу приходится сводить к отысканию
экстремума функции с большим числом переменных, она становится весьма сложной
для ручного счёта. Поэтому долгое время прямые методы были вне осн. русла,
по к-рому направлялись усилия математиков, занимавшихся В. и.

В 20 в. интерес
к прямым методам значительно усилился. Прежде всего были предложены новые
способы редукции к задаче об экстремуме функции конечного числа переменных.
Поясним эти идеи на простом примере. Рассмотрим снова задачу отыскания
минимума функционала (1) при дополнит, условии

(3)

и будем разыскивать
решение задачи в форме

где
- нек-рая система функций, удовлетворяющих условиям типа (3). Тогда функционал
J(x) становится функцией коэффициентов at:

и задача сводится
к отысканию минимума этой функции N переменных. При известных условиях,
наложенных на систему функций,
решение этой задачи стремится при
к решению задачи (1) (см. Ритца и Галёркина методы).

Другая причина
усиления интереса к прямым методам - это систематическое изучение конечноразностных
методов в задачах математической физики, начавшееся с 20-х гг. 20 в. Применение
ЭВМ превращает постепенно прямые методы в осн. инструмент решения вариац.
задач.