Метод вариаций.

Метод вариаций. Второе направление исследований - это изучение необходимых и достаточных
условий, к-рым должна удовлетворять функция x(t), реализующая экстремум
функционала J(x). Его возникновение также связано с именем Эйлера.
Предположим, что тем или иным способом построена функция x(t). Как
проверить, является ли эта функция решением задачи? Первый вариант ответа
на этот вопрос был дан Эйлером в 1744. В приведённой ниже формулировке
этого ответа употребляется введённое в 60-х гг. 18 в. Ж. Лагранжем понятие
вариации (отсюда название - В. и.), являющееся обобщением понятия дифференциала
на случай функционалов.

Пусть x(t)
- функция, удовлетворяющая условию (2), a h(t) - произвольная
гладкая функция, удовлетворяющая условию h(tТогда
величина

где
- произвольное действит. число будет функцией е. Вариацией
функционала J паз. производную

Для простейшей
задачи В. и.

Разлагая полученное
выражение в ряд по степеням е, получим

где
- члены более высокого порядка. Так как h(tто,
проведя интегрирование по частям во втором интеграле, найдём

Пусть теперь
x(t) реализует экстремум. Тогда функция
имеет экстремум при
Поэтому величина
должна обратиться в нуль. Отсюда следует: для того чтобы функция x(t)
доставляла экстремум функционалу (1), необходимо, чтобы она удовлетворяла
ур-нию

(4)

называемому
ур-нием Эйлера.

Это - дифференциальное
ур-ние 2-го порядка относительно функции x(t). Необходимое условие=0
может быть применено в ряде случаев для эффективного отыскания решения
вариац. задачи, поскольку функция x(t) необходимо должна быть решением
краевой задачи .х(tдля
ур-ния (4). Если найдено это решение и оно единственно, то найдено тем
самым и решение исходной вариац. задачи. Если краевая задача допускает
неск. решений, то достаточно вычислить значение функционала для каждого
из решений краевой задачи и выбрать из них то, к-рому отвечает наименьшее
значение J(x). Однако указанный путь обладает одним существ, недостатком:
не существует универсальных способов решения краевых задач для обыкновенных
(нелинейных) дифференциальных ур-ний.

Уже во 2-й
пол. 18 в. круг задач, изучаемых В. и., значительно расширился. Прежде
всего осн. результаты, относящиеся к простейшей задаче В. и., были перенесены
на общий случай интегральных функционалов вида

где x(t)
- вектор-функция произвольной размерности, и на функционалы ещё более
общего вида.