Развитие В. и. в

Развитие В. и. в 20 <в. В 20 <в. возник целый ряд новых направлений
В. и., связанных с интенсивным развитием техники, смежных вопросов математики
и вычислит, техники. Одно из осн. направлений развития В. и. в 20 в.- рассмотрение
неклассич. задач В. и., приведшее к открытию принципа максимума Л. С. Понтрягина.

Рассмотрим
снова задачу Лагранжа: определить минимум функционала

(9)

при условии
фазовый вектор x(t) должен удовлетворять ещё нек-рым граничным условиям.

В своей классич.
постановке условия задачи Лагранжа не предусматривают никаких ограничений
на управление u(t). Выше (см. раздел Условный экстремум. Задача
Лагранжа) подчёркивалась тесная связь между задачей Лагранжа и задачей
управления. В рассмотренном там примере u(t) - тяга ракетного двигателя.
Эта величина подчинена ограничениям: тяга двигателя не может превосходить
нек-рой величины, и угол поворота вектора тяги также ограничен. В данном
конкретном примере компонента uⁱ (i=1,2,3) вектора тяги двигателя
подчинена ограничениям

<
(10)

где
- нек-рые заданные числа. Подобных примеров можно привести много.

Т. о., в технике
появилось много задач, к-рые сводятся к задаче Лагранжа, но при дополнит,
ограничениях типа (10), записываемых в форме
где GТакие задачи получили назв. задач оптимального управления. В задаче Лагранжа
можно исключить управление u(t) при помощи ур-ния (8) и получить
систему ур-ний, к-рая содержит только фазовую переменную х и множитель
Лагранжа
Для теории оптимального управления должен был быть разработан спец. аппарат.
Эти исследования привели к открытию принципа максимума Л. С. Понтрягина.
Он может быть сформулирован в форме след, теоремы: для того чтобы функциибыли
решением задачи оптимального управления [чтобы они доставляли минимум функционалу
(9)], необходимо, чтобы u(t) доставляла максимум функции Гамильтона

где
- множитель Лагранжа (импульс), к-рый является ненулевым решением векторного
уравнения

Принцип максимума
позволяет свести задачу оптимального управления к краевой задаче для системы
обыкновенных дифференциальных ур-ний порядка 2л (п - размерность
фазового вектора). Принцип максимума и в этом случае даёт более сильный
результат, чем теорема Лагранжа, поскольку он требует, чтобы
было не стационарным значением

функции Гамильтона
Н, а. доставляло максимум Н.

Возможен и
другой подход к тем же проблемам теории оптимального управления. Пусть
s (x, t) - значение функционала (9) вдоль оптимального решения.
Тогда для того чтобы функция и (t) была оптимальным управлением,
необходимо (а в нек-рых случаях и достаточно), чтобы функция s (x, t)
удовлетворяла следующему дифференциальному ур-нию с частными производными:

называемому
уравнением Беллмана (см. Динамическое программирование).

Круг вопросов,
которыми занимается В. и., непрерывно расширяется. В частности, всё большее
и большее внимание уделяется изучению функционалов J(x) весьма общего
вида, задаваемых на множествах Gпространств. Для задач такого рода уже трудно использовать метод вариаций.
Возникли новые методы, основанные на использовании понятия конуса в банаховых
пространствах, опорных функционалов и т. д.

Уже в 19 в.
была обнаружена глубокая связь между нек-рыми проблемами теории ур-ний
с частными производными и вариац. задачами. П. Дирихле показал,
что решение краевых задач для ур-ния Лапласа эквивалентно решению нек-рой
вариац. задачи. Эта проблема привлекает к себе всё больше и больше внимания.
Рассмотрим один пример.

Предположим,
что имеется нек-рое линейное операторное ур-ние

(И)

где
- нек-рая функция двух независимых переменных, обращающаяся в нуль на замкнутой
кривой Г. При предположениях, естественных для нек-рого класса задач физики,
задача отыскания решения ур-ния (11) эквивалентна отысканию минимума функционала

(12)

где Q- область,
ограниченная кривой Г.

Ур-ние (11)
в этом случае является ур-нием Эйлера для функционала (12).

Редукция задачи
(11) к (12) возможна, напр., если А - самосопряжённый и положительно
определённый оператор. Оператор Лапласа

удовлетворяет
этим требованиям. Связь между проблемами для ур-ний с частными производными
и вариац. задачами имеет большое практич. значение. Она позволяет, в частности,
устанавливать справедливость различных теорем существования и единственности
и сыграла важную роль в кристаллизации понятия об обобщённом решении. Эта
редукция очень важна также и для вычислит, математики, поскольку она позволяет
использовать прямые методы вариац. исчисления.

В перечислении
осн. разделов совр. В. и. нельзя не указать на глобальные задачи В. и.,
решение к-рых требует качественных методов. Искомое решение вариац. задачи
удовлетворяет нек-рому сложному нелинейному ур-нию и краевым условиям.
Естественно поставить вопрос о том, сколько решений допускает

эта задача.
Примером такой задачи является вопрос о количестве геодезических, к-рые
можно провести между двумя точками на заданной поверхности. Проблема подобного
рода относится уже к компетенции качественной теории дифференциальных ур-ний
и топологии. Последнее обстоятельство очень характерно. Методы, специфические
для смежных дисциплин, топологии, функционального анализа и т. д., всё
шире начинают применяться в В. и. В свою очередь, идеи В. и. проникают
во всё новые области математики, и грань между В. и. и смежными областями
математики теперь провести уже трудно.

Лит.: Лаврентьев
М. А., Люстерник Л. А., Курс вариационного исчисления, 2 изд., М.- Л.,
1950; Б лисе Г. А., Лекции по вариационному исчислению, пер. с англ., М.,
1950; МихлинС. Г., Вариационные методы в математической физике, М., 1957;
Смирнов В. И., Курс высшей математики, 5 изд., т. 4, М., 1958; Гельфанд
И. М., Фомин С. В., Вариационное исчисление, М., 1961; Математическая теория
оптимальных процессов, М.,.1969. Н. Н. Моисеев.

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я