ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ.
Принципами механики наз. исходные положения, отражающие
столь общие закономерности механич. явлений, что из них как следствия можно
получить все ур-ния, определяющие движение механич. системы (или условия
её равновесия). В ходе развития механики был установлен ряд таких принципов,
каждый из к-рых может быть положен в основу механики, что объясняется многообразием
свойств и закономерностей механических явлений. Эти принципы подразделяют
на невариационные и вариационные.
Невариац. принципы
механики непосредственно устанавливают закономерности движения, совершаемого
системой под действием приложенных к ней сил. К этим принципам относятся,
напр., 2-й закон Ньютона, согласно к-рому при движении любой точки системы
произведение её массы на ускорение равно сумме всех приложенных к точке
сил, а также Д'Аламбера принцип. Невариац. принципы справедливы
для любой механич. системы и имеют сравнительно простое матем. выражение.
Однако их применение ограничено только рамками механики, поскольку в выражения
принципов непосредственно входит такое чисто механич. понятие, как сила.
Существенно также следующее. В большинстве задач механики рассматривается
движение несвободных систем, т. е. систем, перемещения к-рых ограничены
связями (см. Связи механические). Примерами таких систем являются
всевозможные машины и механизмы, а также наземный транспорт и др., где
связями являются подшипники, шарниры, тросы и т. п., а для наземного транспорта
- ещё и полотно дороги или рельсы. Чтобы изучить движение несвободной системы,
исходя из не-вариац. принципов, надо и эффект действия связей заменить
нек-рыми силами, наз. реакциями связей. Но величины этих реакций заранее
неизвестны, поскольку они зависят от того, чему равны и где приложены действующие
на систему заданные (активные) силы, такие, напр., как силы тяжести, упругости
пружин, тяги и др., а также от того, как при этом движется сама система.
Поэтому в составленные ур-ния движения войдут дополнит, неизвестные величины
в виде
реакций связей,
что обычно существенно усложняет весь процесс решения.
Преимущество
В. п. м. состоит в том, что из них сразу получаются ур-ния движения соответствующей
механич. системы, не содержащие неизвестных реакций связей. Достигается
это тем, что эффект действия связей учитывается не заменой их неизвестными
силами (реакциями), а рассмотрением тех перемещений или движений (или же
приращений скоростей и ускорений), к-рые точки этой системы могут иметь
при наличии данных связей. Напр., если точка М движется по данной
гладкой (идеальной) поверхности, являющейся для неё связью (рис. 1), то
действие этой связи можно учесть, заменив связь заранее неизвестной по
величине реакцией N, направленной в любой момент времени по нормали
Мп к поверхности (поскольку по этому направлению связь не даёт перемещаться
точке). Но эффект этой же связи можно учесть, установив, что для точки
в данном случае при любом её положении возможны лишь такие элементарные
перемещения, которые перпендикулярны к нормали Мп (рис. 2); такие
перемещения наз. возможными перемещениями. Наконец, эффект той же
связи может быть
охарактеризован
и тем, что пр-и этом движение точки из некоторого положения А в
положение
В возможно
только по любой кривой АВ, лежащей на поверхности, к-рая является
связью (рис. 3); такие движения наз. кинематически возможными.
Содержание
В. п. м. состоит в том, что они устанавливают свойства (признаки), позволяющие
отличить истинное, т. е. фактически происходящее под действием заданных
сил движение механич. системы, от тех или иных кинематически возможных
её движений (или же состояние равновесия системы от других возможных ее
состояний). Обычно эти свойства (признаки) состоят в том, что для истинного
движения нек-рая физ. величина, зависящая от характеристик системы, имеет
наименьшее значение по сравнению с её значениями во всех рассматриваемых
кинематически возможных движениях. При этом В. п. м. могут отличаться друг
от друга видом указанной физ. величины и особенностями рассматриваемых
кинематически возможных движений, а также особенностями самих механич.
систем, для к-рых эти В. п. м. справедливы. Использование В. п. м. требует
применения методов вариационного исчисления.
По форме В.
п. м. разделяют на т. н. дифференциальные, в к-рых устанавливается, чем
истинное движение системы отличается от движений кинематически возможных
в каждый данный момент времени, и интегральные, в к-рых это различие устанавливаетсядля
перемещений, совершаемых системой за к.-н. конечный промежуток времени.
Дифференциальные
В. п. м. в рамках механики являются более общими и практически справедливы
для любых механич. систем. Интегральные В. п. м. в их наиболее употребит,
виде справедливы только для т. н. консервативных систем, т. е. систем,
в к-рых имеет место закон сохранения механич. энергии. Однако в них, в
отличие от дифференциальных В. п. м. и невариац. принципов, вместо сил
входит такая физ. величина, как энергия, что позволяет распространить эти
В. п. м. на немеханич. явления, делая их важными для всей теоретич. физики.
К осн. дифференциальным
В. п. м. относятся: 1) возможных перемещений принцип, устанавливающий
условие равновесия механич. системы с идеальными связями; согласно этому
принципу, положения равновесия механич. системы отличаются от всех других
возможных для неё положений тем, что только для положений равновесия сумма
элементарных работ всех приложенных к системе активных сил на любом возможном
перемещении системы равна нулю. 2) Д'Аламбера - Лагранжа принцип, согласно
к-рому истинное движение механич. системы с идеальными связями отличается
от всех кинематически возможных движений тем, что только для истинного
движения в каждый момент времени сумма элементарных работ всех приложенных
к системе активных сил и всех сил инерции на любом возможном перемещении
системы равна нулю. В этих В. п. м. рассматриваемой физ. величиной является
работа сил.
К дифференциальным
В. п. м. относится также Гаусса принцип (принцип наименьшего принуждения),
в к-ром рассматриваемой физ. величиной является т. н. "принуждение" выражаемое
через заданные силы и ускорения точек системы, а также тесно к нему примыкающий
Герца принцип (принцип наименьшей кривизны).
К интегральным
В. п. м. относятся т. н. принципы наименьшего (стационарного) действия,
согласно к-рым истинным среди рассматриваемых кинематически возможных движений
системы между двумя её положениями является то, для к-рого физ. величина,
наз. действием, имеет миним. значение. Разные формы этих В. п. м.
отличаются друг от друга выбором величины действия и особенностями сравниваемых
между собой кинематически возможных движений системы (см. Наименьшего
действия принцип).
Как невариационные,
так и В. п. м. были установлены в процессе изучения свойств механич. систем
и закономерностей их движения. Поскольку механические, как и др. физ. явления,
подчинены многим закономерностям, то для соответствующих механич. систем
оказался справедливым целый ряд принципов, в т. ч. и В. п. м., и если любой
из них принять за исходный, то из него как следствия получаются не только
ур-ния движения данной системы, но и все другие, справедливые для этой
системы, принципы.
Применяются
В. п. м. как для составления в наиболее простой форме ур-ний движения механич.
систем, так и для изучения общих свойств этих движений. При соответств.
обобщении понятий они используются также в механике сплошных сред, термодинамике,
электродинамике, квантовой механике, теории относительности и др.
Лит.: Вариационные
принципы механики. [Сб. ст.], под ред. Л. П. Полака, М., 1959; Бухгольц
Н. Н., Основной курс теоретической механики, 5 изд., ч. 2, М., 1969; Голдстейн
Г., Классическая механика, пер. с англ., М., 1957. С. М. Таре.
А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я