ВЕКТОРНАЯ ДИАГРАММА
графическое изображение значений периодически изменяющихся величин и соотношений между ними при помощи направленных отрезков - векторов.
Векторные диаграммы широко применяются в электротехнике, акустике, оптике и т. п.
Простые гармонич. функции одного периода, 
напр. могут быть представлены графически в виде проекции на ось Оy
векторов 
вращающихся с постоянной угловой скоростью 
причём 
повёрнуты относительно 
на углы 
. Длина векторов соответствует амплитудам колебаний:
Сумма или разность двух и более колебаний на векторной диаграмме обозначается как геометрическая сумма или разность векторов составляющих колебаний, полученная по правилу параллелограмма, а мгновенное значение искомой величины определяется проекцией вектора суммы на ось 
Например, требуется найти сумму F колебаний 
с амплитудой 
, с амплитудой 
. При геометрическом сложении векторов 
по векторной диаграмме находим, что амплитуда суммарного колебания F равна длине вектора 
и опережает по фазе колебание f на угол 
ВЕКТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ, математическая дисциплина, в которой изучают свойства операций над векторами евклидова пространства. При этом понятие вектора представляет собой матем. абстракцию величин, характеризующихся не только численным значением, но и направленностью (напр., сила, ускорение, скорость).
Возникновение и развитие векторного исчисления
Возникновение векторного исчисления тесно связано с потребностями механики и физики. До 19 в. для задания векторов использовался лишь координатный способ, и операции над векторами сводились к операциям над их координатами.
Лишь в сер. 19 в. усилиями ряда учёных было создано векторное исчисление, в котором операции проводились непосредственно над векторами, без обращения к координатному способу задания. Основы векторного исчисления были заложены исследованиями английского математика У. Гамильтона и немецкого математика Г. Грасмана по гиперкомплексным числам (1844-50). Их идеи были использованы английским физиком Дж. К. Максвеллом в его работах по электричеству и магнетизму. Современный вид векторному исчислению придал американский физик Дж. Гиббс. Значительный вклад в развитие в. и. внесли русские учёные. В первую очередь следует отметить работы М. В. Остроградского. Им была доказана основная теорема векторного анализа (см. Остроградского формула). Исследования казанского математика А. П. Котельникова по развитию винтового исчисления имели важное значение для механики и геометрии. Эти исследования были продолжены советскими математиками Д. Н. Зейлигером и П. А. Широковым. Большое влияние на развитие в. и. имела книга "Векторный анализ", написанная в 1907 году русским математиком П. О. Сомовым.
Векторная алгебра. Вектором называют направленный отрезок (рис. 1), т. е. отрезок, у к-рого указаны начало (наз. также точкой приложения вектора) и конец.
Длина направленного отрезка, изображающего вектор, называют длиной, или модулем вектора. Длина вектора а обозначается 
. Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаково направлены. Все нулевые векторы считаются равными. Изображённые на рис. 1 векторы а и b коллинеарны и равны.
В векторном исчислении рассматриваются свободные векторы.
В векторной алгебре важную роль играют линейные операции над векторами: операция сложения векторов и умножения вектора на действительное число. Суммой а + bвекторов наз. вектор, идущий из начала вектора а в конец вектора b при условии, что начало вектора b приложено к концу вектора а (рис. 2). Происхождение этого правила связано с правилом параллелограмма сложения векторов (рис. 3), источником которого является экспериментальный факт сложения сил (векторных величин) по этому правилу. Построение суммы нескольких векторов ясно из рис. 4. Произведением вектора а на число а наз. вектор, коллинеарный вектору а, имеющий длину, равную 
и направление, совпадающее с направлением а при а>0.
Операции сложения векторов и умножения вектора на число обладают след, свойствами:
В векторной алгебре часто используется понятие линейно зависимых и линейно независимых векторов.
Развитие и применение векторной алгебры тесно связано с различными типами векторных произведений: скалярного, векторного и смешанного. Понятие скалярного произведения векторов возникает, напр., при рассмотрении работы силы F на заданном пути S: работа равна 
, где ф - угол между векторами F и S. Математически скалярное произведение векторов a и b определяется как число, обозначаемое (а,b) и равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
В дифференциальной геометрии вектор-функции одного аргумента используются для задания кривых. Для задания поверхностей пользуются вектор-функциями двух аргументов.
Векторный анализ
В механике, физике и геометрии широко используются понятия скалярного и векторного поля. Температуpa неравномерно нагретой пластинки, плотность неоднородного тела представляют собой физ. примеры соответственно плоского и пространственного скалярного поля. Векторное поле образует множество всех векторов скоростей частиц установившегося потока жидкости. Примерами векторных полей могут служить также поле силы тяжести, магнитное и электрич. напряжение электромагнитного поля.
Для матем. задания скалярных и векторных полей используются соответственно скалярные и векторные функции. Ясно, что плотность тела представляет собой скалярную функцию точки, а поле скоростей частиц установившегося потока жидкости - векторную функцию точки. Матем. аппарат теории поля обычно наз. векторным анализом. Для геом. характеристики скалярного поля используются понятия линий и поверхностей уровня. Линией уровня плоского скалярного поля наз. линия, на которой функция, задающая поле, имеет постоянное значение. Аналогично определяется поверхность уровня пространственного поля. Примерами линии уровня могут служить изотермы - линии уровня скалярного поля температур неравномерно нагретой пластинки.
Для характеристики векторных полей вводится целый ряд понятий: векторной линии, векторной трубки, циркуляции векторного поля, дивергенции и вихря (ротора) векторного поля.
Лит.:
Кочин Н. Е., Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, 6 изд., Л.-М., 1938;
Дубнов Я. С., Основы векторного исчисления, 4 изд., т. 1-2, М., 1950-52;
Будак Б. М., Фомин С. В., Кратные интегралы и ряды, 2 изд., М., 1967.
А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я