ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО

ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО матем. понятие, обобщающее понятие совокупности всех
(свободных) векторов обычного трёхмерного пространства.

Определение
В. п. Для векторов трёхмерного пространства указаны правила сложения
векторов и умножения их на действит. числа (см. Векторное исчисление).
В применении к любым векторам

x, у, z
и любым числам альфа, бета эти правила удовлетворяют след, условиям
(условия А):

1) х+у=у+х
(перестановочность сложения);

2) (x+y)+z=x+(y+z)
(ассоциативность сложения);

3) имеется
нулевой вектор 0 (или нуль-вектор), удовлетворяющий условию

x + 0=x для
любого вектора х;

4) для любого
вектора х существует противоположный ему вектор у такой, что х + у = 0;

5) 1*х=х;

6)
(ассоциативность умножения);

7)
(распределит, свойство относительно числового множителя);

8)
(распределит, свойство относительно векторного множителя).

Векторным (или
линейным) пространством наз. множество R, состоящее из элементов
любой природы (называемых векторами), в к-ром определены операции сложения
элементов и умножения элементов на действит. числа, удовлетворяющие условиям
А (условия 1-3 выражают, что операция сложения, определённая в В. п., превращает
его в коммутативную группу).

Выражение

(1)

наз. линейной
комбинацией векторов eкоэффициентами aкомбинация (1) наз. нетривиальной, если хотя бы один из коэффициентов aaе наз. линейно зависимыми, если
существует нетривиальная комбинация (1), представляющая собой нулевой вектор.
В противном случае (то есть если только тривиальная комбинация векторов
e равна нулевому
вектору) векторы e наз.
линейно независимыми.

Векторы (свободные)
трёхмерного пространства удовлетворяют след, условию (условие В): существуют
три линейно независимых вектора; любые четыре вектора линейно зависимы
(любые три ненулевых вектора, не лежащие в одной плоскости, являются линейно
независимыми).

В. п. наз.
n-мерным (или имеет "размерность n"), если в нём существуют п
линейно независимых элементов e
а любые n+ 1 элементов линейно зависимы (обобщённое условие В). В.
п. наз. бесконечномерным, если в нём для любого натурального п существует
п линейно независимых векторов. Любые п линейно независимых
векторов n-мерного В. п. образуют базис этого пространства. Если eе- базис В. п., то любой вектор
х этого пространства может быть представлен единств, образом в виде
линейной комбинации базисных векторов:

При этом числа
aх в данном базисе.

Примеры
В. п. Множество всех векторов трёхмерного пространства образует, очевидно,
В. п. Более сложным примером может служить т. н. п-мерное арифметич. пространство.
Векторами этого пространства являются упорядоченные системы из п действит.
чисел:
Сумма двух векторов и произведение на число определяются соотношениями:

Базисом в этом
пространстве может служить, напр., след, система из п векторов eе

Множество R
всех многочленов a +... + an
(любых степеней п) от одного переменного с действит. коэффициентами
аи умножения многочленов на действит. числа образует В. п. Многочлены 1,
n, n², ..., nⁿ (при любом п) линейно
независимы в R, поэтому R - бесконечномерное В. п.

Многочлены
степени не выше п образуют В. п. размерности n + 1; его базисом
могут служить многочлены 1, u, u², ..., uⁿ.



Подпространства
В. п. В. п. R' наз. подпространством R, если
(то есть каждый вектор пространства R' есть и вектор пространства
R) и если для каждого вектора
и для каждых двух векторов v
вектор(при
любом)
и вектор v и vот того, рассматриваются ли векторы v, v
как элементы пространства R' или R. Линейной оболочкой векторов
x, ..., x наз. множество
всевозможных линейных комбинаций этих векторов, т. е. векторов вида a+a В
трёхмерном пространстве линейной оболочкой одного ненулевого вектора xочевидно, совокупность всех векторов, лежащих на прямой, определяемой вектором
x Линейной оболочкой двух не лежащих на одной прямой
векторов x и x будет совокупность
всех векторов, расположенных в плоскости, к-рую определяют векторы xи x. В общем случае произвольного В. п. R линейная оболочка
векторов x этого
пространства представляет собой подпространство пространства R размерности
р. В n-мерном В. п. существуют подпространства всех размерностей,
меньших р. Всякое конечномерное (данной размерности k) подпространство
R' В. п. R есть линейная оболочка любых k линейно
независимых векторов, лежащих в R'. Пространство, состоящее из всех многочленов
степени(линейная
оболочка многочленов 1, u, u², ..., uⁿ), есть
(n+1)-мерное подпространство пространства R всех многочленов.

Евклидовы
пространства. Для развития геом. методов в теории В. п. нужно указать
пути обобщения таких понятий, как длина вектора, угол между векторами и
т. п. Один из возможных путей заключается в том, что любым двум векторам
х и у из R ставится в соответствие число, обозначаемое
(х, у) и наз. скалярным произведением векторов х и у.
При этом требуется, чтобы выполнялись след, аксиомы скалярного произведения:

1) (x,y) =
(x,y) (перестановочность);

2) (x= (x

3)

4) (х,х)>=0
для любого х, причем (х, x)=0 только для х=0.

Обычное скалярное
произведение в трёхмерном пространстве этим аксиомам удовлетворяет. В.
п., в к-ром определено скалярное произведение, удовлетворяющее перечисленным
аксиомам, наз. евклидовым пространством; оно может быть как конечномерным
(n-мерным), так и бесконечномерным. Бесконечномерное евклидово пространство
обычно наз. гильбертовым пространством. Длина
вектора х и уголмежду
векторами х и у евклидова пространства определяются через
скалярное произведение формулами

Примером евклидова
пространства может служить обычное трёхмерное пространство со скалярным
произведением, определяемым в векторном исчислении. Евклидово n-мерное
(арифметическое) пространство Еⁿ получим, определяя в

и-мерном арифметич.
В.п. скалярное произведение векторов
и у -
соотношением

(2)

При этом требования
1) -4), очевидно, выполняются.

В евклидовых
пространствах вводится понятие ортогональных (перпендикулярных) векторов.
Именно векторы х и у наз. ортогональными, если их скалярное произведение
равно нулю: (х, у) = 0. В рассмотренном пространстве Еⁿ условие
ортогональности векторов
и
как это следует из соотношения (2), имеет вид:

(3)

Применение
В. п. Понятие В. п. (и различные обобщения) широко применяется в математике
и её приложениях к естествознанию. Пусть, напр., R - множество всех
решений линейного однородного дифференциального ур-ния

Ясно, что

сумма двух
решений и произведение решения на число являются решениями этого ур-ния.
Т. о., R удовлетворяет условиям А. Доказывается, что для R выполнено
обобщённое условие В. Следовательно, R является В. п. Любой базис
в рассмотренном В. п. наз. фундаментальной системой решений, знание к-рой
позволяет найти все решения рассматриваемого ур-ния. Понятие евклидова
пространства позволяет полностью геометризовать теорию систем однородных
линейных ур-ний:

(4)

Рассмотрим
в евклидовом пространствеЕⁿ векторы2,...,
n и вектор-решение

Пользуясь формулой
(2) для скалярного произведения векторов Еⁿ, придадим системе
(4) след, вид:

(5)

Из соотношений
(5) и формулы (3) следует, что вектор-решение векторам оболочке векторов at, т.е. решение и есть любой вектор из ортогонального
дополнения линейной оболочки векторов . Важную
роль в математике и физике играют и бесконечномерные линейные пространства.
Примером такого пространства может служить пространство С непрерывных
функций на отрезке с обычной операцией сложения и умножения на действит.
числа. Упомянутое выше пространство всех многочленов является подпространством
пространства С. Лит.: Александров П. С., Лекции по аналитической
геометрии, М., 1968; Гельфанд И. М., Лекции по линейной алгебре, М.- Л.,
1948. Э. Г. Позняк.