ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ ФУНКЦИИ.

ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ ФУНКЦИИ. Функция
y
= f(x) наз. возрастающей на отрезке [а, b], если для любой пары
точек х и х' , а<=х<х'<=b выполняется неравенство
f(x)<=f(x'),
и
строго возрастающей - если выполняется неравенство
f(x)<f(x').
Аналогично
определяется убывание и строгое убывание функции. Напр., функция у =
х² (рис., а) строго

возрастает на отрезке [0,1], а у = 1/x+1
(рис.,
б) строго убывает на этом отрезке. Возрастающие функции обозначаются
f(x)^{возрастание},
а
убывающие f(x)Для того чтобы дифференцируемая
функция f(x) была возрастающей на отрезке [а, b], необходимо
и достаточно, чтобы её производная
f'(x) была неотрицательной на
[а, b].

Наряду с возрастанием и убыванием функции
на отрезке рассматривают возрастание и убывание функции в точке. Функция
у
=
f(x)наз. возрастающей в точке хесли найдётся
такой интервал (а, В), содержащий точку хчто
для любой точки х из (а, В), х>хвыполняется
неравенство f(хи для любой точки х из
(а, В), х<хвыполняется неравенство f(x)<=f(xАналогично
определяется строгое возрастание функции в точке x.
Если
f'(x0,
то функция f(x) строго возрастает в точке xf(x) возрастает в каждой точке интервала
(а, b), то она возрастает
на этом интервале.

Лит.: Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального
и интегрального исчисления, 6 изд., т. 1, М., 1966. С. Б. Стечкин.