ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ

ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ дифференциальное
уравнение с частными производными, описывающее процесс распространения
возмущений в нек-рой среде. В случае малых возмущений и однородной изотропной
среды В. у. имеет вид:

где х, у, z - пространственные перемен
ные, t - время, u= u(х, у, z) - искомая функция, характеризующая
возмущение в точке (х, у, z) в момент t, a - скорость распространения
возмущения. В. у. яв ляется одним из основных уравнений математич. физики
и широко используется в приложениях. Если и зависит только от двух
(одной) пространственных переменных, то В. у. упрощается и наз. двумерным
(одномерным). В. у. допускает решение в виде "расходящейся сферической
волны":

u = f(t-r/a)/r, где f - произвольная
функция, а r = = коррень х² + y^г + z².
Особый
интерес представляет т. н. элементарное решение (элементарная волна):

u=б(t-r/a)/r, (где б - дельта-функция),
дающее
процесс распространения возмущения, произведённого мгновенным точечным
источником (действовавшим в начале координат при t = 0). Образно
говоря, элементарная волна представляет собой "бесконечный всплеск" на
окружности r = at, удаляющийся от начала координат со скоростью
а
с постепенным уменьшением интенсивности. При помощи наложения элементарных
волн можно описать процесс распространения произвольного возмущения.

Малые колебания струны описываются одномерным
В. у.:

Ж. Д'Аламбер предложил (1747) метод
решения этого В. у. в виде наложения прямой и обратной волн: и = f(x-at)+
+ g(x + at), а Л. Эйлер (1748) установил, что функции f u
g определяются заданием т. н. начальных условий.

Лит.: Тихонов А. Н. и Самарский
А. А., Уравнения математической физики, 3 изд., М., 1966. П. И. Лизоркин.

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я