ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ ФИГУРЫ
в элементарной
геометрии. Многоугольник наз. вписанным в выпуклую кривую, а кривая - описанной
около многоугольника, если все вершины многоугольника лежат на кривой (рис.
1). Многоугольник наз. описанным вокруг кривой, а кривая - вписанной в
многоугольник, если каждая сторона многоугольника или её продолжение касается
кривой. В качестве кривой чаще всего рассматривается окружность. Всякий
треугольник имеет одну описанную и одну вписанную окружности (рис. 2).
Выпуклый четырёхугольник имеет описанную окружность тогда и только тогда,
когда сумма противоположных углов составляет 180° (рис. 3). Для того чтобы
четырёхугольник имел вписанную окружность, необходимо и достаточно, чтобы
сумма длин одной пары противолежащих сторон равнялась сумме длин др. пары
(рис. 4). Многоугольник может быть вписан в окружность, если этим свойством
обладают четырёхугольники, образованные диагональю многоугольника и тремя
сторонами, а также если перпендикуляры, проведённые через середины сторон,
пересекаются в одной точке. Вписанная окружность существует в том и только
в том случае, когда биссектрисы внутр. углов многоугольника пересекаются
в одной точке. В проективной геометрии важную роль играют теоремы о шестиугольнике,
вписанном в конич. сечение (см. Паскаля теорема) и описанном около
него (см. Брианшона теорема).
В. и о. ф. рассматриваются и в пространстве.
В этом случае вместо многоугольника рассматривается многогранник, а вместо
выпуклой линии - выпуклая поверхность, чаще всего сфера (рис. 5). Можно
говорить также о конусе или цилиндре, вписанном в сферу, о сфере, вписанной
в конус (рис. 6), и т. п.
Лит.: Перепёлкин Д. И., Курс элементарной
геометрии, ч. 1 - 2, М.- Л., 1948 - 49.
А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я