ГАЛУА ТЕОРИЯ

ГАЛУА ТЕОРИЯ созданная
Э. Галуа теория алгебр, ур-ний высших степеней с одним
неизвестным, т. е. ур-ний вида

устанавливает условия сводимости
решения таких ур-ний к решению цепи др. алгебр, ур-ний (обычно более низких
степеней). Т. к. решением двучленного ур-ния
является радикал то ур-ние
(*) решается в радикалах, если его можно свести к цепи двучленных ур-ний.
Все ур-ния 2-й, 3-й и 4-й степеней решаются в радикалах. Ур-ние 2-й степени
x² + px + q = 0 было решено в глубокой древности по общеизвестной
формуле Ур-ния 3-й и 4-йстепеней
были решены в 16 в. Для ур-ния 3-й степени вида х³ + рх + q
= 0 (к к-рому можно привести всякое ур-ние 3-й степени) решение даётся
т. н. формулой Кардано:

опубликованной Дж. Кардано
в 1545, хотя вопрос о том, найдена ли она им самим или же заимствована
у др. математиков, нельзя считать вполне решённым. Метод решения в радикалах
ур-ний 4-й степени
был указан Л. Феррари. В течение трёх последующих столетий математики пытались
найти аналогичные формулы для ур-ний 5-й и высших степеней. Наиболее упорно
над этим работали Э. Безу и Ж. Лагранж. Последний рассматривал особые линейные
комбинации корней (т. н. резольвенты Лагранжа), а также изучал вопрос о
том, каким ур-ниям удовлетворяют рациональные функции от корней ур-ния
(*). В 1801 К. Гаусс создал полную теорию решения в радикалах двучленного
ур-ния вида хⁿ = 1, в к-рой свёл решение такого ур-ния к решению
цепи двучленных же ур-ний низших степеней и дал условия, необходимые и
достаточные для того, чтобы ур-ние xⁿ = l решалось в квадратных
радикалах. С точки зрения геометрии, последняя задача заключалась в отыскании
правильных n-угольников, к-рые можно построить при помощи циркуля и линейки;
поэтому ур-ние xⁿ = l и называется ур-нием деления круга. Наконец,
в 1824 Н. Абель показал, что общее ур-ние 5-й
степени (и тем более общие ур-ния высших степеней) не решается в радикалах.
С другой стороны, Абель дал решение в радикалах одного общего класса ур-ний,
содержащего ур-ния произвольно высоких степеней, т. н. абелевых уравнений.

Т. о., когда Галуа начал
свои исследования, в теории алгебр, ур-ний было сделано уже много, но общей
теории, охватывающей все возможные ур-ния вида (*), ещё не было создано.
Напр., оставалось: 1) установить необходимые и достаточные условия, к-рым
должно удовлетворять ур-ние (*) для того, чтобы оно решалось в радикалах;
2) узнать вообще, к цепи каких более простых ур-ний, хотя бы и не двучленных,
может быть сведено решение заданного ур-ния (*) и, в частности, 3) выяснить,
каковы необходимые и достаточные условия для того, чтобы ур-ние (*) сводилось
к цепи квадратных ур-ний
(т. е. чтобы корни ур-ния можно было построить геометрически с помощью
циркуля и линейки). Все эти вопросы Галуа решил в своём "Мемуаре об условиях
разрешимости уравнений в радикалах", найденном в его бумагах после смерти
и впервые опубликованном Ж. Лиувиллемъ 1846. Для решения этих вопросов
Галуа исследовал глубокие связи между свойствами ур-ний и групп подстановок,
введя ряд фундаментальных понятий теории групп. Своё условие разрешимости
ур-ния (*) в радикалах Галуа формулировал в терминах теории групп. Г. т.
после Галуа развивалась и обобщалась во мн. направлениях. В совр. понимании
Г. т.- теория, изучающая те или иные математич. объекты на основе их групп
автоморфизмов (так, напр., возможны Г. т. полей, Г. т. колец, Г. т. топологич.
пространств и т. п.).

Лит.: Галуа Э., Сочинения,
пер. с франц., М.- Л., 1936; Чеботарев Н. Г., Основы теории Галуа, т. 1
- 2, М.- Л., 1934-37; Постников М. М., Теория Галуа, М., 1963.

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я