ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
функции
от п переменных
, непрерывные в нек-рой
области вместе с частными производными первого и второго порядков и удовлетворяющие
в этой области дифференциальному уравнению Лапласа
Во мн. вопросах физики и
механики, где речь идёт о состоянии части пространства, зависящем от положения
точки, но не от времени (равновесие, установившееся движение и т. п.),
соответствующее состояние представляется Г. ф. от координат точки. Так,
напр., потенциал сил тяготения в области, не содержащей притягивающих масс,
и потенциал постоянного электрич. поля в области, не содержащей электрич.
зарядов, суть Г. ф. Точно так же Г. ф. являются потенциал скоростей установившегося
безвихревого движения несжимаемой жидкости, темп-pa тела при условии установившегося
распределения тепла, величина прогиба мембраны, натянутой на контур произвольного
вида, вообще неплоский (весом мембраны пренебрегают), и т. д.
Наиболее важны для приложения
к физике и механике Г. ф. от трёх переменных (координат точки).
В частном случае, когда область пространства ограничена цилиндрич. поверхностью,
образующие к-рой параллельны, напр., оси г, причём изучаемое явление протекает
одинаковым образом в любой плоскости, перпендикулярной к образующим (т.
е. не зависит от координаты z), соответствующие Г. ф.
от трёх переменных превращаются
в Г. ф. от двух переменных x и у. Последние находятся в тесной
связи с аналитическими функциями
от
комплексного переменного
А именно каждая Г. ф.
от х и у есть действительная или мнимая часть нек-рой функции
, и, обратно, действительная и мнимая части любой аналитич. функции суть
Г. ф. отл: и у. Напр.,
будучи действительной
и мнимой частями функции
суть Г. ф. Важнейшими
задачами теории Г. ф. являются краевые, или граничные, задачи, в к-рых
требуется найти Г. ф. внутри области на основании данных, относящихся к
поведению функции на границе этой области. Такова задача Дирихле, где Г.
ф. ищется по её значениям, заданным в точках границы области (напр., определение
темп-ры внутри тела по темп-ре на его поверхности, поддерживаемой так,
что она зависит только от точки, но не от времени, или определение формы
мембраны по виду контура, на к-рый она натянута). Такова также задача
Неймана, где Г. ф. ищется по величине её нормальной производной, заданной
на границе области (напр., определение темп-ры внутри тела по заданному
на поверхности градиенту темп-ры или определение потенциала движения несжимаемой
жидкости, обтекающей твёрдое тело, на основании того, что нормальные составляющие
скоростей частиц жидкости, прилегающих к поверхности тела, совпадают с
заданными нормальными составляющими скоростей точек поверхности тела).
Для решения задач Дирихле,
Неймана и др. краевых задач теории Г. ф. разработаны различные методы,
имеющие большое теоретич. значение. Напр., для задачи Дирихле известны:
альтернирующий метод (Шварца), метод выметания (Пуанкаре),
метод интегральных уравнений (Фредгольма), метод верхних и нижних
функций (Перрона) и др. При рассмотрении краевых задач для областей
общего вида возникают важные вопросы об условиях существования решений,
об устойчивости решений при малых изменениях границы области и др. Этим
вопросам посвящены работы М. В. Келдыша, М. А. Лаврентьева и др. сов. математиков.
Весьма большое значение для приложений теории Г. ф. к задачам физики и
техники имеет также разработка методов численного решения краевых задач.
Лит.: Келдыш М. В.,
О разрешимости и устойчивости задачи Дирихле, "Успехи математических наук",
1940, в. 8; Сретенский Л. Н., Теория ньютоновского потенциала, М.-
Л., 1946; Смирнов В. И., Курс высшей математики, 3 изд., т. 4, М., 1957;
Петровский И. Г., Лекции об уравнениях с частными производными, 3 изд.,
М., 1961. А. И. Маркушевич.
А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я