ГЕОМЕТРИЯ

что
является прямым обобщением известной формулы для расстояния в трёхмерном
пространстве. Движение определяют как преобразование фигуры, к-рое не изменяет
расстояний между её точками. Тогда предмет и-мерной Г. определяется как
исследование тех свойств фигур, к-рые не меняются при движениях. На этой
основе легко вводятся понятия о прямой, о плоскостях различного числа измерений
от двух до п - 1, о шаре и т. д. Т. о. складывается богатая содержанием
теория, во многом аналогичная обычной евклидовой Г., но во многом и отличная
от неё. Нередко бывает, что результаты, полученные для трёхмерного пространства,
легко переносятся с соответствующими изменениями на пространство любого
числа, измерений. Напр., теорема о том, что среди всех тел одинакового
объёма наименьшую площадь поверхности имеет шар, читается дословно так
же в пространстве любого числа измерений [нужно лишь иметь в виду n-мерный
объём, (п-1)-мерную площадь и n-мерный шар, к-рые определяются вполне
аналогично соответствующим понятиям обычной Г.]. Далее, в n-мерном пространстве
объём призмы равен произведению площади основания на высоту, а объём пирамиды
- такому произведению, делённому на п. Такие примеры можно продолжить.
С др. стороны, в многомерных пространствах обнаруживаются также качественно
новые факты.

Истолкования
геометрии. Одна и та же геом. теория допускает разные приложения, разные
истолкования (осуществления, модели, или интерпретации). Всякое приложение
теории и есть не что иное, как осуществление нек-рых её выводов в соответствующей
области явлений.

Возможность
разных осуществлений является общим свойством всякой матем. теории. Так,
арифметич. соотношения реализуются на самых различных наборах предметов;
одно и то же ур-ние описывает часто совсем разные явления. Математика рассматривает
лишь форму явления, отвлекаясь от содержания, а с точки зрения формы многие
качественно различные явления оказываются часто сходными. Разнообразие
приложений математики и, в частности, Г. обеспечивается именно её абстрактным
характером. Считают, что нек-рая система объектов (область явлений) даёт
осуществление теории, если отношения в этой области объектов могут быть
описаны на языке теории так, что каждое утверждение теории выражает тот
или иной факт, имеющий место в рассматриваемой области. В частности, если
теория строится на основе нек-рой системы аксиом, то истолкование этой
теории состоит в таком сопоставлении её понятий с нек-рыми объектами и
их отношениями, при к-ром аксиомы оказываются выполненными для этих объектов.

Евклидова
Г. возникла как отражение фактов действительности. Её обычная интерпретация,
в к-рой прямыми считаются натянутые нити, движением - механич. перемещение
и т. д., предшествует Г. как матем. теории. Вопрос о других интерпретациях
не ставился и не мог быть поставлен, пока не выявилось более абстрактное
понимание геометрии. Лобачевский создал неевклидову Г. как возможную геометрию,
и тогда возник вопрос о её реальном истолковании. Эта задача была решена
в 1868 Э. Белътрами, к-рый заметил, что геометрия Лобачевского совпадает
с внутр. Г. поверхностей постоянной отрицательной кривизны, т. е. теоремы
геометрии Лобачевского описывают геом. факты на таких поверхностях (при
этом роль прямых выполняют геодезич. линии, а роль движений - изгибания
поверхности на себя). Поскольку вместе с тем такая поверхность есть объект
евклидовой Г., оказалось, что геометрия Лобачевского истолковывается в
понятиях геометрии Евклида. Тем самым была доказана непротиворечивость
геометрии Лобачевского, т. к. противоречие в ней в силу указанного истолкования
влекло бы противоречие в геометрии Евклида.

Т.
о., выясняется двоякое значение истолкования геом. теории - физическое
и математическое. Если речь идёт об истолковании на конкретных объектах,
то получается опытное доказательство истинности теории (конечно, с соответствующей
точностью); если же сами объекты имеют абстрактный характер (как геом.
поверхность в рамках геометрии Евклида), то теория связывается с другой
матем. теорией, в данном случае с евклидовой Г., а через неё с суммированными
в ней опытными данными. Такое истолкование одной матем. теории посредством
другой стало матем. методом обоснования новых теорий, приёмом доказательства
их непротиворечивости, поскольку противоречие в новой теории порождало
бы противоречие в той теории, в к-рой она интерпретируется. Но теория,
посредством к-рой производится истолкование, в свою очередь, нуждается
в обосновании. Поэтому указанный матем. метод не снимает того, что окончательным
критерием истины для матем. теорий остаётся практика. В наст, время геом.
теории чаще всего истолковываю аналитически; напр., точки на плоскости
Лобачевского можно связывать с парами чисел х и у, прямые-определять
ур-ния-ми и т. п. Этот приём даёт обоснование теории потому, что сам матем.
анализ обоснован, в конечном счёте, огромной практикой его применения.

Современная
геометрия. Принятое в совр. математике формально-матем. определение понятий
пространства и фигуры исходит из понятия множества (см. Множеств теория).
Пространство определяется как множество к.-л. элементов (точек) с условием,
что в этом множестве установлены нек-рые отношения, сходные с обычными
пространств, отношениями. Множество цветов, множество состояний физ. системы,
множество непрерывных функций, заданных на отрезке [0,1], и т. п. образуют
пространства, где . точками будут цвета, состояния, функции. Точнее, эти
множества понимаются как пространства, если в них фиксируются только соответствующие
отношения, напр, расстояние между точками, и те свойства и отношения, к-рые
через них определяются. Так, расстояние между функциями можно определить
как максимум абс. величины их разности: max\f(x)-q(х)\. Фигура определяется
как произвольное множество точек в данном пространстве. (Иногда пространство
- это система из множеств элементов. Напр., в проективной Г. принято рассматривать
точки, прямые и плоскости как равноправные исходные геом. объекты, связанные
отношениями соединения.)

Основные
типы отношений, к-рые в разных комбинациях приводят ко всему разнообразию
пространств совр. Г., следующие:

1)
Общими отношениями, имеющимися во всяком множестве, являются отношения
принадлежности и включения: точка принадлежит множеству, и одно множество
есть часть другого. Если приняты во внимание только эти отношения, то в
множестве не определяется ещё никакой геометрии, оно не становится пространством.
Однако, если выделены нек-рые спец. фигуры (множества точек), то геометрия
пространства может определяться законами связи точек с этими фигурами.
Такую роль играют аксиомы сочетания в элементарной, аффинной, проективной
Г.; здесь специальными множествами служат прямые и плоскости.

Тот
же принцип выделения нек-рых спец. множеств позволяет определить понятие
топологич. пространства - пространства, в к-ром в качестве спец. множеств
выделены окрестности точек (с условием, что точка принадлежит своей окрестности
и каждая точка имеет хотя бы одну окрестность; наложение на окрестности
дальнейших требований определяет тот или иной тип топологич. пространств).
Если всякая окрестность заданной точки имеет общие точки с нек-рым множеством,
то такая точка наз. точкой прикосновения этого множества. Два множества
можно назвать соприкасающимися, если хотя бы одно из них содержит точки
прикосновения другого; пространство или фигура будет непрерывной, или,
как говорят, связной, если её нельзя разбить на две несоприкасающиеся части;
преобразование непрерывно, если оно не нарушает соприкосновений. Т. о.,
понятие топологич. пространства служит для матем. выражения понятия непрерывности.
[Топологич. пространство можно определить также другими спец. множествами
(замкнутыми, открытыми) или непосредственно отношением прикосновения, при
к-ром любому множеству точек ставятся в соответствие его точки прикосновения.]
Топология, пространства как таковые, множества в них и их преобразования
служат предметом топологии. Предмет собственно Г. (в значительной её части)
составляет исследование топологич. пространств и фигур в них, наделённых
ещё дополнит, свойствами.

2)
Второй важнейший принцип определения тех или иных пространств и их исследования
представляет введение координат. Многообразием называется такое (связное)
топологич. пространство, в окрестности каждой точки к-рого можно ввести
координаты, поставив точки окрестности во взаимно однозначное и взаимно
непрерывное соответствие с системами из п действительных чисел xxЧисло п есть число измерений
многообразия. Пространства, изучаемые в большинстве геом. теорий, являются
многообразиями; простейшие геом. фигуры (отрезки, части поверхностей, ограниченные
кривыми, и т.п.) обычно - куски многообразий. Если среди всех систем координат,
к-рые можно ввести в кусках многообразия, выделяются системы координат
такого рода, что одни координаты выражаются через другие дифференцируемыми
(то или иное число раз) или аналитич. функциями, то получают т. н. гладкое
(аналитическое) многообразие. Это понятие обобщает наглядное представление
о гладкой поверхности. Гладкие многообразия как таковые составляют предмет
т. н. дифференциальной топологии. В собственно Г. они наделяются дополнит,
свойствами. Координаты с принятым условием дифференцируемоcти их преобразований
дают почву для широкого применения аналитич. методов - дифференциального
и интегрального исчисления, а также векторного и тензорного анализа (см.
Векторное исчисление, Тензорное исчисление). Совокупность теорий
Г., развиваемых этими методами, образует общую дифференциальную Г.; простейшим
случаем её служит классич. теория гладких кривых и поверхностей, к-рые
представляют собою не что иное, как одно- и двумерные дифференцируемые
многообразия.

3)
Обобщение понятия движения как преобразования одной фигуры в другую приводит
к общему принципу определения разных пространств, когда пространством считается
множество элементов (точек), в котором задана группа взаимно однозначных
преобразований этого множества на себя. Геометрия такого пространства состоит
в изучении тех свойств фигур, которые сохраняются при преобразованиях из
этой группы. Поэтому с точки зрения такой Г. фигуры можно считать равными,
если одна переходит в другую посредством преобразования из данной группы.
Напр., евклидова Г. изучает свойства фигур, сохраняющиеся при движениях,
аффинная Г. - свойства фигур, сохраняющиеся при аффинных преобразованиях,
топология - свойства фигур, сохраняющиеся при любых взаимно однозначных
и непрерывных преобразованиях. В эту же схему включаются геометрия Лобачевского,
проективная Г. и др. Фактически этот принцип соединяется с введением координат.
Пространство определяется как гладкое многообразие, в к-ром преобразования
задаются функциями, связывающими координаты каждой данной точки и той,
в к-рую она переходит (координаты образа точки задаются как функции координат
самой точки и параметров, от к-рых зависит преобразование; напр., аффинные
преобразования определяются как линейные: х'= a+ а+
a=1, ...,п). Поэтому
общим аппаратом разработки таких геометрий служит теория непрерывных групп
преобразований. Возможна другая, по существу эквивалентная, точка зрения,
согласно к-рой задаются не преобразования пространства, а преобразования
координат в нём, причём изучаются те свойства фигур, к-рые одинаково выражаются
в разных системах координат. Эта точка зрения нашла применение в теории
относительности, к-рая требует одинакового выражения физ. законов в разных
системах координат, наз. в физике системами отсчёта.

4)
Другой общий принцип определения пространств, указанный в 1854 Риманом,
исходит из обобщения понятия о расстоянии. По Риману, пространство - это
гладкое многообразие, в к-ром задан закон измерения расстояний, точнее
длин, бесконечно малыми шагами, т. е. задаётся дифференциал длины дуги
кривой как функция координат точки кривой и их дифференциалов. Это есть
обобщение внутр. Г. поверхностей, определённой Гауссом как учение о свойствах
поверхностей, к-рые могут быть установлены измерением длин кривых на ней.
Простейший случай представляют т. н. римановы пространства, в к-рых в бесконечно
малом имеет место теорема Пифагора (т. е. в окрестности каждой точки можно
ввести координаты так, что в этой точке квадрат дифференциала длины дуги
будет равен сумме квадратов дифференциалов координат; в произвольных же
координатах он выражается общей положительной квадратичной формой; см.
Римановы геометрии). Такое пространство, следовательно, евклидово
в бесконечно малом, но в целом оно может не быть евклидовым, подобно тому
как кривая поверхность лишь в бесконечно малом может быть сведена к плоскости
с соответствующей точностью. Геометрии Евклида и Лобачевского оказываются
частным случаем этой римановой Г. Наиболее широкое обобщение понятия расстояния
привело к понятию общего метрич. пространства как такого множества элементов,
в к-ром задана метрика, т. е. каждой паре элементов отнесено число - расстояние
между ними, подчинённое только очень общим условиям. Эта идея играет важную
роль в функциональном анализе и лежит в основе нек-рых новейших
геом. теорий, таких, как внутр. Г. негладких поверхностей и соответствующие
обобщения римановой Г.

5)
Соединение идеи Римана об определении геометрии в бесконечно малых областях
многообразия с определением геометрии посредством группы преобразований
привело (Э. Картан, 1922-25) к понятию о таком пространстве, в котором
преобразования задаются лишь в бесконечно малых областях; иными словами,
здесь преобразования устанавливают связь только бесконечно близких кусков
многообразия: один кусок преобразуется в другой, бесконечно близкий. Поэтому
говорят о пространствах со связностью того или иного типа. В частности,
пространства с евклидовой связностью суть римановы. Дальнейшие обобщения
восходят к понятию о пространстве как о гладком многообразии, на к-ром
задано вообще поле к.-л. объекта, к-рым может служить квадратичная форма,
как в римановой Г., совокупность величин, определяющих связность, тот или
иной тензор и др. Сюда же можно отнести введённые в недавнее время т. н.
расслоенные пространства. Эти концепции включают, в частности, связанное
с теорией относительности обобщение римановой Г., когда рассматриваются
пространства, где метрика задаётся уже не положительной, а знакопеременной
квадратичной формой (такие пространства также наз. римановыми, или псевдоримановыми,
если хотят отличить их от римановых в первоначальном смысле). Эти пространства
являются пространствами со связностью, определённой соответствующей группой,
отличной от группы евклидовых движений.

На
почве теории относительности возникла теория пространств, в к-рых определено
понятие следования точек, так что каждой точке X отвечает множество
V(X) следующих за нею точек. (Это является естественным матем. обобщением
следования событий, определённого тем, что событие У следует за событием
X, если X воздействует на У, и тогда У следует за X во
времени в любой системе отсчёта.) Т. к. само задание множеств V определяет
точки, следующие за X, как принадлежащие множеству V(X), то
определение этого типа пространств оказывается применением первого из перечисленных
выше принципов, когда геометрия пространства определяется выделением спец.
множеств. Конечно, при этом множества V должны быть подчинены соответствующим
условиям; в простейшем случае - это выпуклые конусы. Эта теория включает
теорию соответствующих псевдоримановых пространств.

6)
Аксиоматич. метод в его чистом виде служит теперь либо для оформления уже
готовых теорий, либо для определения общих типов пространств с выделенными
специальными множествами. Если же тот или иной тип более конкретных пространств
определяют, формулируя их свойства как аксиомы, то используют либо координаты,
либо метрику и др. Непротиворечивость и тем самым осмысленность аксиоматич.
теории проверяется указанием модели, на к-рой она реализуется, как это
впервые было сделано для геометрии Лобачевского. Сама модель строится из
абстрактных матем. объектов, поэтому окончательное обоснование любой геом.
теории уходит в область оснований математики вообще, к-рые не могут быть
окончательными в полном смысле, но требуют углубления (см. Математика,
Аксиоматический метод).

Перечисленные
принципы в разных сочетаниях и вариациях порождают обширное разнообразие
геом. теорий. Значение каждой из них и степень внимания к её задачам определяются
содержательностью этих задач и получаемых результатов, её связями с др.
теориями Г., с др. областями математики, с точным естествознанием и задачами
техники. Каждая данная геом. теория определяется среди других геом. теорий,
во-первых, тем, какое пространство или какого типа пространства в ней рассматриваются.
Во-вторых, в определение теории входит указание на исследуемые фигуры.
Так различают теории многогранников, кривых, поверхностей, выпуклых тел
и т. д. Каждая из этих теорий может развиваться в том или ином пространстве.
Напр., можно рассматривать теорию многогранников в обычном евклидовом пространстве,
в n-мерном евклидовом пространстве, в пространстве Лобачевского и др. Можно
развивать обычную теорию поверхностей, проективную, в пространстве Лобачевского
и т. д. В-третьих, имеет значение характер рассматриваемых свойств фигур.
Так, можно изучать свойства поверхностей, сохраняющиеся при тех или иных
преобразованиях;можно различать учение о кривизне поверхностей, учение
об изгибаниях (т. е. о деформациях, не меняющих длин кривых на поверхности),
внутреннюю Г. Наконец, в определение теории можно включать её осн. метод
и характер постановки задач. Так различают Г.: элементарную, аналитическую,
дифференциальную;напр., можно говорить об элементарной или аналитич. Г.
пространства Лобачевского. Различают Г. в малом, рассматривающую лишь свойства
сколь угодно малых кусков геом. образа (кривой, поверхности, многообразия),
от Г. в целом, изучающей, как ясно из её названия, геом. образы в целом
на всём их протяжении. Очень общим является различение аналитич.
методов и методов синтетич. Г. (или собственно геом. методов); первые используют
средства соответствующих исчис-лений: дифференциального, тензорного и др.,
вторые оперируют непосредственно геом. образами.

Из
всего разнообразия геом. теорий фактически более всего развиваются
n-мерная евклидова Г. и риманова (включая псевдориманову) Г. В первой разрабатывается,
в особенности, теория кривых и поверхностей (и гиперповерхностей разного
числа измерений), причём особое развитие получает исследование поверхностей
в целом и поверхностей, существенно более общих, чем гладкие, изучавшиеся
в классич. дифференциальной Г.; сюда же включаются многогранники (многогранные
поверхности). Затем нужно назвать теорию выпуклых тел, к-рая, впрочем,
в большой части может быть отнесена к теории поверхностей в целом, т. к.
тело определяется своей поверхностью. Далее - теория правильных систем
фигур, т. е. допускающих движения, переводящие всю систему саму в себя
и к.-л. её фигуру в любую другую (см. Фёдоровские группы). Можно
отметить, что значительное число важнейших результатов в этих областях
принадлежат сов. геометрам: очень полная разработка теории выпуклых поверхностей
и существенное развитие теории общих невыпуклых поверхностей, разнообразные
теоремы о поверхностях в целом (существования и единственности выпуклых
поверхностей с заданной внутр. метрикой или с заданной той или иной функцией
кривизны, теорема о невозможности существования полной поверхности с кривизной,
всюду меньшей к.-л. отрицательного числа, и др.), исследование правильного
деления пространства и др.

В
теории римановых пространств исследуются вопросы, касающиеся связи их метрич.
свойств с топологич. строением, поведение геодезич. (кратчайших на малых
участках) линий в целом, как, напр., вопрос о существовании замкнутых геодезических,
вопросы погружения, т. е. реализации данного m-мерного риманова пространства
в виде ти-мерной поверхности в евклидовом пространстве к.-л. числа измерений,
вопросы псевдо-римановой Г., связанные с общей теорией относительности,
и др. К этому можно добавить развитие разнообразных обобщений римановой
Г. как в духе общей дифференциальной Г., так и в духе обобщений синтетич.
Г.

В
дополнение следует упомянуть алгебраическую геометрию, развившуюся
из аналитич. Г. и исследующую прежде всего геом. образы, задаваемые алгебр,
ур-ниями; она занимает особое место, т. к. включает не только геометрические,
но также алгебр, и арифметич. проблемы. Существует также обширная и важная
область исследования бесконечномерных пространств, к-рая, однако, не причисляется
к Г., а включается в функциональный анализ, т. к. бесконечномерные пространства
конкретно определяются как пространства, точками к-рых служат те или иные
функции. Тем не менее в этой области есть много результатов и проблем,
носящих подлинно геом. характер и к-рые поэтому следует относить к Г.

Значение
геометрии. Применение
евклидовой Г. представляет самое обычное явление всюду, где определяются
площади, объёмы и т. п. Вся техника, поскольку в ней играют роль формы
и размеры тел, пользуется евклидовой Г. Картография, геодезия, астрономия,
все графич. методы, механика немыслимы без Г. Ярким примером является открытие
И. Кеплером факта вращения планет по эллипсам; он мог воспользоваться
тем, что эллипс был изучен ещё древними геометрами. Глубокое применение
Г. представляет геом. кристаллография, послужившая источником и областью
приложения теории правильных систем фигур (см. Кристаллография).

Более
отвлечённые геометрические теории находят широкое применение в механике
и физике, когда совокупность состояний к.-л. системы рассматривается как
нек-рое пространство (см. раздел Обобщение предмета геометрии). Так, все
возможные конфигурации (взаимное расположение элементов) механич. системы
образуют конфигурационное пространство; движение системы изображается движением
точки в этом пространстве. Совокупность всех состояний физ. системы (в
простейшем случае - положения и скорости образующих систему материальных
точек, напр, молекул газа) рассматривается как фазовое пространство системы.
Эта точка зрения находит, в частности, применение в статистической физике
и др.

Впервые
понятие о многомерном пространстве зародилось в связи с механикой ещё у
Ж. Лагранжа, когда к трём пространств, координатам х, у, z в
качестве четвёртой формально присоединяется время t. Так появляется
четырёхмерное пространство - время, где точка определяется четырьмя координатами
х, у, z, t. Каждое событие характеризуется этими четырьмя координатами
и, отвлечённо, множество всех событий в мире оказывается четырёхмерным
пространством. Этот взгляд получил развитие в геом. трактовке теории относительности,
данной Г. Минковским, а потом в построении А. Эйнштейном общей
теории относительности. В ней он воспользовался четырёхмерной римановой
(псевдоримановой) Г. Так геом. теории, развившиеся из обобщения данных
пространственного опыта, оказались матем. методом построения более глубокой
теории пространства и времени. В свою очередь теория относительности дала
мощный толчок развитию общих геом. теорий. Возникнув из элементарной практики,
Г. через ряд абстракций и обобщений возвращается к естествознанию и практике
на более высокой ступени в качестве метода.

С
геом. точки зрения многообразие пространства - времени обычно трактуется
в общей теории относительности как неоднородное римановского типа, но с
метрикой, определяемой знакопеременной формой, приводимой в бесконечно
малой области к виду

(с
- скорость света в вакууме). Само пространство, поскольку его можно
отделить от времени, оказывается также неоднородным римановым. С совр.
геом. точки зрения лучше смотреть на теорию относительности следующим образом.
Специальная теория относительности утверждает, что многообразие пространства
- времени есть псевдоевклидово пространство, т. е. такое, в к-ром роль
движений играют преобразования, сохраняющие квадратичную форму

точнее,
это есть пространство с группой преобразований, сохраняющих указанную квадратичную
форму. От всякой формулы, выражающей физ. закон, требуется, чтобы она не
менялась при преобразованиях группы этого пространства, к-рые суть так
называемые преобразования Лоренца. Согласно же общей теории относительности,
многообразие пространства - времени неоднородно и лишь в каждой бесконечно
малой области сводится к псевдоевклидову, т. е. оно есть пространство картановского
типа (см. раздел Современная геометрия). Однако такое понимание стало возможно
лишь позже, т. к. само понятие о пространствах такого типа появилось после
теории относительности и было развито под её прямым влиянием.

В
самой математике положение и роль Г. определяются прежде всего тем, что
через неё в математику вводилась непрерывность. Математика как наука о
формах действительности сталкивается прежде всего с двумя общими формами:
дискретностью и непрерывностью. Счёт отдельных (дискретных) предметов даёт
арифметику, пространств. непрерывность изучает Г. Одним из осн. противоречий,
движущих развитие математики, является столкновение дискретного и непрерывного.
Уже деление непрерывных величин на чарти и измерение представляют сопоставление
дискретного и непрерывного: напр., масштаб откладывается вдоль измеряемого
отрезка отд. шагами. Противоречие выявилось с особой ясностью, когда в
Др. Греции (вероятно, в 5 в. до н. э.) была открыта несоизмеримость стороны
и диагонали квадрата: длина диагонали квадрата со стороной 1 не выражалась
никаким числом, т. к. понятия иррационального числа не существовало. Потребовалось
обобщение понятия числа - создание понятия иррационального числа (что было
сделано лишь много позже в Индии). Общая же теория иррациональных чисел
была создана лишь в 70-х гг. 19 в. Прямая (а вместе с нею и всякая фигура)
стала рассматриваться как множество точек. Теперь эта точка зрения является
господствующей. Однако затруднения теории множеств показали её ограниченность.
Противоречие дискретного и непрерывного не может быть полностью снято.

Общая
роль Г. в математике состоит также в том, что с нею связано идущее от пространственных
представлений точное синтетич. мышление, часто позволяющее охватить в целом
то, что достигается анализом и выкладками лишь через длинную цепь шагов.
Так, Г. характеризуется не только своим предметом, но и методом, идущим
от наглядных представлений и оказывающимся плодотворным в решении многих
проблем др. областей математики. В свою очередь, Г. широко использует их
методы. Т. о., одна и та же матем. проблема может сплошь и рядом трактоваться
либо аналитически, либо геометрически, или в соединении обоих методов.

В
известном смысле, почти всю математику можно рассматривать как развивающуюся
из взаимодействия алгебры (первоначально арифметики) и Г., а в смысле метода
- из сочетания выкладок и геом. представлений. Это видно уже в понятии
совокупности всех вещественных чисел как числовой прямой, соединяющей арифметич.
свойства чисел с непрерывностью. Вот нек-рые осн. моменты влияния Г. в
математике.

1)
В возникновении и развитии анализа Г. наряду с механикой имела решающее
значение. Интегрирование происходит от нахождения площадей и объёмов, начатого
ещё древними учёными, причём площадь и объём как величины считались определёнными;
никакое аналитич. определение интеграла не давалось до 1-й пол. 19 в. Проведение
касательных было одной из задач, породивших дифференцирование. Графич.
представление функций сыграло важную роль в выработке понятий анализа и
сохраняет своё значение. В самой терминологии анализа виден геом. источник
его понятий, как, напр., в терминах: точка разрыва, область изменения переменной
и т. п. Первый курс анализа, написанный в 1696 Г. Лопиталем, назывался:
Анализ бесконечно малых для понимания кривых линий. Теория дифференциальных
ур-ний в большей части трактуется геометрически (интегральные кривые и
т. п.). Вариационное исчисление возникло и развивается в большой
мере на задачах Г., и её понятия играют в нём важную роль.

2)
Комплексные числа окончательно утвердились в математике на рубеже 18- 19
вв. только вследствие сопоставления их с точками плоскости, т. е. путём
построения комплексной плоскости. В теории функций комплексного переменного
геом. методам отводится существенная роль. Само понятие аналитич. функции
w = f(z) комплексного переменного может быть определено чисто геометрически:
такая функция есть конформное отображение плоскости z (или области
плоскости z) в плоскость w. Понятия и методы римановой Г. находят
применение в теории функций нескольких комплексных переменных.

3)
Осн. идея функционального анализа состоит в том, что функции данного класса
(напр., все непрерывные функции, заданные на отрезке [0,1]) рассматриваются
как точки функционального пространства, причём отношения между функциями
истолковываются как геом. отношения между соответствующими точками (напр.,
сходимость функций истолковывается как сходимость точек, максимум абсолютной
величины разности функций - как расстояние, и т. п.). Тогда многие вопросы
анализа получают геом. освещение, оказывающееся во многих случаях очень
плодотворным. Вообще, представление тех или иных матем. объектов (функций,
фигур и др.) как точек нек-poro пространства с соответствующим геом. толкованием
отношений этих объектов является одной из наиболее общих и плодотворных
идей совр. математики, проникшей почти во все её разделы.

4)
Г. оказывает влияние на алгебру и даже на арифметику - теорию чисел. В
алгебре используют, напр., понятие векторного пространства. В теории чисел
создано геом. направление, позволяющее решать многие задачи, едва поддающиеся
вычислит, методу. В свою очередь нужно отметить также графич. методы расчётов
(см. Номография) и геом. методы совр. теории вычислений и вычислит,
машин.

5)
Логич. усовершенствование и анализ аксиоматики Г. играли определяющую роль
в выработке абстрактной формы аксиоматич. метода с его полным отвлечением
от природы объектов и отношений, фигурирующих в аксиоматизируемой теории.
На том же материале вырабатывались понятия непротиворечивости, полноты
и независимости аксиом.

В
целом взаимопроникновение Г. и др. областей математики столь тесно, что
часто границы оказываются условными и связанными лишь с традицией. Почти
или вовсе не связанными с Г. остаются лишь такие разделы, как абстрактная
алгебра, матем. логика и нек-рые др.

Лит.: <Основные
классические работы.

Евклид,
Начала, пер. с греч., кн. 1 - 15, М. -Л., 1948 -50; Декарт Р., Геометрия,
пер. с латин., М. -Л., 1938; Монж Г., Приложения анализа к геометрии, пер.
с франц., М.- Л., 1936; Ponselet J. V., Traite des proprietes projectives
des figures, Metz - P., 1822; Гаусс К. Ф., Общие исследования о кривых
поверхностях, пер. с нем., в сб.: Об основаниях геометрии, М., 1956; Лобачевский
Н. И., Поли, собр. соч., т. 1-3, М.- Л., 1946-51; Больаи Я., Appendix.
Приложение,.., пер. с латин., М.- Л., 1950; Риман Б., О гипотезах, лежащих
в основаниях геометрии, пер. с нем., в сб.: Об основаниях геометрии, М.,
1956; Клейн Ф., Сравнительное обозрение новейших геометрических исследований
(Эрлангенская программа), там же; Картан Э., Группы голономии обобщенных
пространств, пер. с франц., в кн.: VIII-й Международный конкурс на соискание
премии имени Николая Ивановича Лобачевского (1937 год), Казань, 1940; Гильберт
Д., Основания геометрии, пер. с нем., М.- Л., 1948.

История* Кольман
Э., История математики в древности, М., 1961; Юшкевич А. П., История математики
в средние века, М., 1961; Вилейтнер Г., История математики от Декарта до
середины 19 столетия, пер. с нем., 2 изд., М., 1966; Cantor М., Vorlesungen
uber die Geschichte der Mathematik, Bd 1 - 4, Lpz., 1907 - 08.

Курсы,
а) Основания геометрии. Каган
В. <Ф., Основания геометрии, ч. 1, М.- Л., 1949; Ефимов Н. В., Высшая
геометрия, 4 изд., М., 1961; Погорелов А. В., Основания геометрии, 3 изд.,
М., 1968.

б)
Элементарная геометрия. Адамар
Ж., Элементарная геометрия, пер. с франц., ч. 1, 3 изд., М., 1948, ч. 2,
М., 1938; Погорелов А. В., Элементарная геометрия, М., 1969,

в)
Аналитическая геометрия. Александров
П. С., Лекции по аналитической геометрии..., М., 1968; Погорелов А. В.,
Аналитическая геометрия, 3 изд., М., 1968.

г)
<Дифференциальная геометрия. Рашевский П. К., Курс дифференциальной
геометрии, 3 изд., М.- Л., 1950; Каган В. Ф., Основы теории поверхностей
в тензорном изложении, ч. 1 - 2, М.- Л., 1947 - 48; Погорелов А. В., Дифференциальная
геометрия, М., 1969.

д)
<Начертательная и проективная геометрия. Глаголев Н. А., Начертательная
геометрия, 3 изд., М.- Л., 1953; Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 4 изд.,
М., 1961.

е)
Риманова геометрия и её обобщения. Рашевский
П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 2 изд., М.- Л., 1964; Норден
А. П., Пространства аффинной связности, М.- Л., 1950; Картан Э., Геометрия
римановых пространств, пер. с франц., М.- Л., 1936; Эйзенхарт Л. П., Риманова
геометрия, пер. с англ., М., 1948.

Некоторые
монографии по геометрии. Федоров
Е. С., Симметрия и структура кристаллов. Основные работы, М., 1949; Александров
А. Д., Выпуклые многогранники, М.- Л., 1950; его же, Внутренняя геометрия
выпуклых поверхностей, М.- Л., 1948; П о г о р е л о в А. В., Внешняя геометрия
выпуклых поверхностей, М., 1969; Буземан Г., Геометрия геодезических, пер.
с англ., М., 1962; его же, Выпуклые поверхности, пер. с англ., М., 1964;
Картан Э., Метод подвижного репера, теория непрерывных групп и обобщенные
пространства, пер. с франц., М.- Л., 1936; Фиников С. П., Метод внешних
форм Картана в дифференциальной геометрии, М.- Л., 1948; его же, Проективно-дифференциальная
геометрия, М.- Л., 1937; его же, Теория конгруенций, М.- Л., 1950; Схоутен
И. А., С т р о и к Д. Д ж., Введение в новые методы дифференциальной геометрии,
пер. с англ., т. 1 - 2, М.- Л., 1939 - 48; Н о м н д з у К.. Группы Ли
и дифференциальная геометрия, пер. с англ., М., 1960; Милнор Д ж., Теория
Морса, пер. с англ., М., 1965.

Л.
Д. Александров.