ГИПЕРКОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

ГИПЕРКОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА обобщение понятия о числе, более широкое, чем обычные комплексные числа.
Смысл обобщения состоит в том, чтобы обычные арифметич. действия над такими
числами одновременно выражали нек-рые геометрич. процессы в многомерном
пространстве или давали количеств, описание к.-л. физич. законов. При попытках
построить числа, к-рые играли бы для 3-мерного пространства ту же роль,
какую играют комплексные числа для плоскости, выяснилось, что здесь не
может быть полной аналогии; это привело к созданию и развитию систем Г.
ч.

Г. ч. представляют собой
линейные комбинации (с действит. коэффициентами x..., x

подобно тому, как комплексные
числа x + iy являются
линейными комбинациями двух "базисных единиц": действит. единицы 1 и мнимой
единицы г. Для того чтобы использовать Г. ч., надо в первую очередь установить
правила арифметич. действий над ними. Сложение и вычитание Г. ч., очевидно,
получают однозначное определение, если для новых чисел сохранить обычные
правила арифметики; именно, компоненты xXвычитаться. Истинное значение проблемы отчётливо выступает только при установлении
правила умножения; для установления почленного перемножения Г. ч. вида
(*) приходят к необходимости установить значения n² произведений
eсостоит в том, чтобы этим произведениям приписать значения вида (*), сохраняющие
в силе все обычные правила арифметич. операций. Этому требованию удовлетворяет
(кроме простейшего случая действительных чисел) единственная система Г.
ч.- система комплексных чисел. При установлении же всякой другой системы
Г. ч. необходимо отказаться от того или иного правила арифметики; обычно
такими правилами, терпящими нарушение, оказываются: однозначность результата
деления; переместительность умножения; правило, в силу к-рого равенство
нулю произведения двух чисел влечёт за собой обращение в нуль, по крайней
мере, одного из сомножителей, и т. п. Важнейшая система Г. ч. - кватернионы
- получается при отказе от коммутативности (переместительности) умножения
и сохранения остальных свойств сложения и умножения.

Лит.: Математика, ее содержание,
методы и значение, т. 3, M., 1956, гл. 20.

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я