ГРУППА
одно из основных понятий
совр. математики. Теория Г. изучает в самой общей форме свойства действий,
наиболее часто встречающихся в математике и её приложениях (примеры таких
действий - умножение чисел, сложение векторов, последовательное выполнение
преобразований и т. п.). Общность теории Г., а вместе с тем и широта её
приложений обеспечиваются тем, что она изучает свойства действий в их чистом
виде, отвлекаясь как от природы элементов, над к-рыми выполняется действие,
так и от природы самого действия. В то же время теория Г. изучает не совсем
произвольные действия, а лишь те, к-рые обладают рядом осн. свойств, перечисляемых
в определении Г. (см. ниже).
К понятию Г. можно прийти, напр.,исследуя
симметрию геом. фигур. Так,< квадрат (рис. а) представляется
симметричной фигурой, так как, напр., его поворот ср около центра на 90°
по часовой стрелке или зеркальное отражение
относительно диагонали АС не изменяют его положения; всего существует
8 различных движений, совмещающих квадрат с собой. Для круга (рис.
б)
таких
движений, очевидно, уже бесконечно много - таковы, напр., все его повороты
около центра. А для фигуры, изображённой на рис. в,
существует лишь
одно движение, совмещающее её с собой,- тождественное, т. е. оставляющее
каждую точку фигуры на месте.
Множество G различных движений, самосовмещающих
Общее (формальное) определение Г.таково.
Напр., если Ещё один пример группы. Подстановкой
где в нижней строчке стоят те же символы
Можно проверить, что множество подстановок
Независимо и из других соображений
Третий источник понятия Г.- теория
Осознание в кон. 19 в. принципиального
Теория групп. Конечной целью собственно
а) Теория конечных Г. Осн. проблема
б) Теория абелевых Г. Отправной точкой
в) Теория разрешимых и нильпотент-ных
г) Теория Г. преобразований. Понятие
д) Теория представлений Г.<- важное
е) Из разделов теории групп, выделяемых
Теория Г. является одной из самых развитых
Лит.: Александров П. С., Введение
3 изд.,М., 1967; Холл
М. И. Каргаполов, Ю. М. Мерзляков.
А
Б
В
Г
Д
Е
Ё
Ж
З
И
Й
К
Л
М
Н
О
П
Р
С
Т
У
Ф
Х
Ц
Ч
Ш
Щ
Ъ
Ы
Ь
Э
Ю
Я
данную фигуру, и служит характеристикой большей или меньшей её симметричности:
чем больше множество G, тем симметричнее фигура. Определим на множестве
G композицию, т. е. действие над элементами из G, по следующему правилу:
если
- два движения из G,
то результатом их композиции (иногда говорят "произведением" паз. движение
, равносильное
последовательному
выполнению сначала движения
,
а затем движения
. Напр.,
если
- движения квадрата, указанные
выше,< то
-< отражение
квадрата относительно оси, проходящей через середины сторон АВ< и
CD.<
Множество движений G, взятое с определённой на нём композицией,
наз. группой симметрии данной фигуры. Очевидно, композиция' на множестве
<=
=
для любых
из G; 2)в
G существует такой элемент е, что еОф< =
для любого
из G; 3) для лю-оого
ф< из G< существует в G< такой элемент
<, что
Действительно,
в качестве
молено
взять тождественное движение, а в качестве
<-движение,
обратное
, т. е. возвращающее
каждую точку фигуры из нового положения в старое.
Пусть 
из
снова из G. Если при этом выполняются условия 1), 2), 3), то множество
G< с заданной на нём композицией наз. группой.
<-
множество
всех целых чисел, а композиция на G< - их обычное сложение (роль
будет играть число О, а роль
<-
число
),
то G< - группа. Часть H< множества G<, состоящая
из чётных чисел, сама будет Г. относительно той же композиции. В таких
случаях говорят, что Н< - подгруппа группы G. Отметим, что
обе эти Г. удовлетворяют следующему дополнительному условию: 4)
для любых (р, ф< из группы. Всякая группа с этим условием наз. коммутативной,
или абелевой.
множества символов 1, 2, ..... я наз. таблица
1, 2, ..., n, но, вообще говоря, в другом порядке. Композицию двух
подстановок
определяют
следующим правилом: если под символом х в подстановке ф стоит символ
у,
а под символом у в подстановке
стоит
символ z, то в подстановке
под
символом x ставится символ 2. Напр.,
n
символов
относительно такой композиции является группой. При n>=3 она неабелева.
Историческая справка. Понятие
Г.< послужило во многих отношениях образцом при перестройке алгебры
и вообще математики на рубеже 19<-20 вв. Истоки понятия Г.< обнаруживаются
в неск. дисциплинах, главная из которых <- теория решений алгебраич.
уравнений в радикалах. В 1771 франц. математики Ж. Лагранж и А. Вандермонд
впервые для нужд этой теории применили подстановки (для теории Г. особенно
важен "Мемуар об алгебраическом решении уравнений" Лагранжа). Затем в ряде
работ итал. математика П. Руффини (1799 и позднее), посвящённых
доказательству неразрешимости уравнения 5-й степени в радикалах, систематически
используется замкнутость множества подстановок относительно их композиции
и по существу описаны подгруппы группы всех подстановок пяти символов.
Глубокие связи между свойствами Г. подстановок и свойствами уравнений были
указаны норв. математиком Н. Абелем (1824) и франц. математиком
Э. Галуа (1830). Галуа принадлежат и конкретные достижения в теории
Г.: открытие роли т. н. нормальных подгрупп в связи с задачей о разрешимости
уравнений в радикалах, установление свойства простоты знакопеременных Г.
степени п>=5 и др.; он же ввёл термин "группа" (le group),
хотя и не дал строгого определения. Важную роль в систематизации и развитии
теории Г. сыграл трактат франц. математика К. Жордана о Г. подстановок
(1870).
идея Г. возникла в геометрии, когда в сер. 19 в. на смену единой антич.
геометрии пришли многочисл. "геометрии" и остро встал вопрос об установлении
связей и родства между ними. Выход из создавшегося положения был намечен
исследованиями по проективной геометрии, посвящёнными изучению поведения
фигур при различных преобразованиях. Постепенно интерес в этих исследованиях
перешёл на изучение самих преобразований и поиск их классификации. Таким
"изучением геометрического родства" много занимался нем. математик А. Мёбиус.
Заключит. этапом на этом пути явилась "Эрлангенская программа" нем. математика
Ф. Клейна (1872), положившая в основу классификации геометрий понятие Г.
преобразований: каждая геометрия определена нек-рой Г. преобразований пространства,
и только те свойства фигур принадлежат к данной геометрии, к-рые инвариантны
относительно преобразований соответствующей Г.
чисел. Уже Л. Эйлер (1761), изучая "вычеты, остающиеся при делении
степеней", по существу пользовался сравнениями и разбиениями на классы
вычетов, что на теоретико-групповом языке означает разложение Г. на смежные
классы по подгруппе. К. Гаусс в "Арифметических исследованиях" (1801),
занимаясь уравнением деления круга, фактически определил подгруппы его
группы Галуа. Там же, изучая "композицию двоичных квадратичных форм", Гаусс
по существу доказывает, что классы эквивалентных форм образуют относительно
композиции конечную абелеву Г. Развивая эти идеи, нем. математик Л. Кронекер
(1870) вплотную подошёл к осн. теореме о конечных абелевых Г., хотя и не
сформулировал её явно.
единства теоретико-групповых форм мышления, существовавших к тому времени
независимо в разных областях математики, привело к выработке совр. абстрактного
понятия Г. (норв. математик С. Ли, нем. математик Ф. Фробениус и др.).
Так, уже в 1895 Ли определял Г. как совокупность преобразований, замкнутую
относительно их композиции, удовлетворяющей условиям 1), 2), 3). Изучение
Г. без предположения их конечности и без каких бы то ни было предположений
о природе элементов впервые оформилось в самостоятельную область математики
с выходом книги О.Ю.Шмидта "Абстрактная теория групп" (1916).
теории Г. является описание всех возможных групповых композиций. Теория
Г. распадается на ряд больших разделов, выделяемых чаще всего дополнительными
условиями на групповую композицию или внесением в Г. дополнительных структур,
связанных определённым образом с групповой композицией. Перечислим важнейшие
разделы теории групп.
этой старейшей ветви теории Г.<- классификация т. н. простых конечных
Г., играющих роль кирпичей при построении произвольной конечной Г. Одним
из наиболее глубоких фактов, установленных в этой теории, является теорема
о том, что всякая неабелева простая конечная Г.< состоит из чётного
числа элементов.
многих исследований в этой области служит осн. теорема о конечно-порождённых
абелевых Г., полностью выясняющая их строение.
Г.< Понятие разрешимой Г.< является обобщением понятия абелевой
Г. Оно по существу идёт от Галуа и тесно связано с разрешимостью уравнений
в радикалах. Для конечных Г. это понятие может быть определено многими
равносильными способами, к-рые перестают быть равносильными при отказе
от конечности Г. Изучение возникающих при этом классов Г. составляет предмет
теории обобщённо разрешимых и обобщённо нильпотентных Г.
Г. возникло исторически именно как понятие Г. преобразований, но в дальнейшем
было освобождено от этой конкретной оболочки. Тем не менее теория Г. преобразований
осталась важной частью общей теории. Типичный вопрос в ней: какими абстрактными
свойствами обладает Г., заданная как Г. преобразований нек-рого множества?
Особое внимание привлекают, в частности, Г. подстановок н Г. матриц.
орудие изучения абстрактных Г. Представление абстрактной Г. в виде нек-рой
конкретной Г.< (напр., в виде Г. подстановок или матриц) позволяет
проводить тонкие вычисления и с их помощью обнаруживать важные абстрактные
свойства. Особенно велики успехи теории представлений в теории конечных
Г., где с её помощью получен ряд результатов, недоступных пока абстрактным
методам.
внесением в Г. дополнительных структур, согласованных с групповой композицией,
отметим теорию топологич. Г. (в них групповая композиция в нек-ром смысле
непрерывна), в частности её старейшую ветвь <- теорию групп Ли.
областей алгебры и< имеет многочисл. применения как в самой математике,
так и за её пределами. Напр., с помощью теории Г. рус. учёный Е. С. Фёдоров
(1890) решил задачу классификации правильных пространственных систем точек,
являющуюся одной из осн. задач кристаллографии. Это был исторически первый
случай применения теории Г. непосредственно в естествознании. Большую роль
играет теория Г. в физике, напри в квантовой механике, где широко используются
соображения симметрии и теория представлений Г.< линейными преобразованиями.
в теорию групп, 2 изд.. М., 1951; Мальцев А. И., Группы и другие алгебраические
системы, в кн.: Математика, ее содержание, методы и значение, т. 3, М.,
1956. с. 248 - 331; Курош А. Г., Теория групп,
М., Теория групп, пер. с англ., М., 1962; В
а р д е н Б. Л. в а н дер, Метод теории групп в квантовой механике, пер.
с нем., Хар., 1938; Шмидт О. Ю., Абстрактная теория групп, в кн.: Шмидт
О. Ю., Избр. труды. Математика, М.,1959; Федоров Е. С., Симметрия правильных
систем фигур, в кн.: Федоров Е. С., Симметрия и структура кристаллов. Основные
работы, М., 1949; Wussing H., Die Genesis des abstrakten Gruppenbegriffes,
В., 1969, S. 1-258.