ДВИЖЕНИЕ
в геометрии, преобразования
пространства, сохраняющие свойства фигур (размеры, форму и др.).
Понятие Д. сформировалось путём абстракции реальных перемещений твёрдых
тел.
Д. евклидова пространства - геометрическое
преобразование пространства, сохраняющее расстояния между точками. Д. наз.
собственным или несобственным в зависимости от того, сохраняет ли оно или
меняет ориентацию. Д. есть ортогональное преобразование.
Собственное Д. на плоскости может быть
задано в прямоугольной системе координат (х, у) посредством следующих
формул:
показывающих, что совокупность
всех собственных Д. на плоскости зависит от трёх параметров а, Ъ и
ф, к-рые характеризуют соответственно параллельный перенос плоскости на
вектор (а, Ь) и её поворот вокруг начала координат на угол ф. Всякое
собственное Д. может быть представлено либо как параллельный перенос, либо
как вращение вокруг нек-рой точки. Любое несобственное Д. представимо в
виде произведения (последовательного осуществления) параллельного
переноса вдоль нек-poro направления и симметрии относительно прямой,
имеющей
то же самое направление.
Собственное Д. в пространстве есть
или вращение вокруг оси, или параллельный перенос, или же
может быть представлено в виде винтового движения (вращения вокруг оси
и параллельного переноса в направлении этой оси). Несобственное
Д. в пространстве есть либо симметрия относительно плоскости, либо может
быть представлено в виде произведения симметрии относительно плоскости
на вращение вокруг оси, перпендикулярной этой плоскости, либо в виде произведения
симметрии относительно плоскости на перенос в направлении вектора, параллельного
этой плоскости.
Д. в пространстве аналитически может
быть представлено посредством линейного преобразования с ортогональной
матрицей, определитель к-рой равен 1 или -1, в зависимости от того, является
Д. собственным или несобственным.
Понятие Д. переносится в римановы пространства,
в пространства аффинной связности. Важную роль понятие Д. играет в римановых
пространствах теории относительности (сильная асимметрия гравитационных
полей накладывает ограничения на движения твёрдых тел в таких пространствах).
Д. может быть принято в качестве основного
понятия при аксиоматическом построении геометрии. В этом случае вместо
аксиом конгруэнтности вводятся аксиомы Д. • Конгруэнтность отрезков, углов
и др. фигур определяется через понятие Д. (фигуры наз. конгруэнтными, если
одна переходит в другую при помощи нек-рого Д.). Совокупность Д.
образует группу.
Лит.: Адамар Ж., Элементарная
геометрия, пер. с франц., ч. 1, 3 изд., М., 1948; ч. 2, [2 изд.], М., 1951;
Рашевский П.К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 3 изд., М., 1967;
Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии, М., 1968. Э. Г.
Позняк.
А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я