ДВОЙНОЙ РЯД

ДВОЙНОЙ РЯД выражение вида

составленное из элементов бесконечной
матрицы
||
uт<, и = 1,2,...); эти элементы
могут быть числами (тогда Д. р. наз. числовым), функциями
от одного или неск. переменных (функциональный Д. р.) и т. д. Для
Д. р. принята сокращённая запись

наз. частичными суммами Д. р. Если
существует предел

когда т и п независимо друг
от друга стремятся к бесконечности, то этот предел наз. суммой Д. р. и
Д. р. наз. сходящимся. Теория сходимости Д. р. значительно сложнее соответствующей
теории для простых рядов; напр., в отличие от простых рядов, из
сходимости Д. р. не вытекает, что его частичные суммы ограничены. Выражение

наз. повторным рядом. Его надо понимать
в том смысле, что сначала вычисляются суммы

всех внутр. рядов, а затем рассматривается
ряд , составленный из этих сумм.
Если повторный ряд (1) сходится и имеет сумму S,
то её наз.
суммой Д. р. по строкам. Аналогично определяется сумма S' Д. р. по столбцам.
Из сходимости Д. р. не вытекает, что сходятся внутр. ряды

итак
что суммы

по
строкам и по столбцам могут и не существовать. Напротив, если Д. р. расходится,
то может оказаться, что существуют суммы по строкам и по столбцам и S =
S'.
Однако,
если Д. р. сходится и имеет сумму S и существуют суммы по строкам и по
столбцам, то каждая из этих сумм равна S. Это обстоятельство постоянно
используется при фактич. вычислении суммы Д. р.

Наиболее важными классами Д. р. являются
двойные степенные ряды, двойные ряды Фурье и квадратичные формы с бесконечным
числом переменных. Для Д. р. Фурье

(2)

одним из стандартных пониманий суммы
таких рядов является следующее: образуются круговые (или сферические)
частичные
суммы

где суммирование распространяется на
всевозможные пары целых чисел (т, n), для к-рых m²
+ n²=<N, и рассматривается предел lim Sэтот
предел наз. сферическойсуммой
Д. р. Фурье (2). Многие важные функции изображаются с помощью Д.
р., напр. эллиптическая функция Вейерштрасса.

Кратный ряд (точнее, s-кратный ряд)
есть
выражение вида

составленное
из членов таблицы Каждый член
этой таблицы занумерован s индексами т,п,..., р, и эти индексы пробегают
независимо друг от друга все натуральные числа. Теория кратных рядов совершенно
аналогична теории Д. р.

Лит.: Фихтенгольц Г. М., Курс
дифференциального и интегрального исчисления, 6 изд., т. 2, М., 1966. С.Б.
Стечкин.