ДВОЙСТВЕННОСТИ ПРИНЦИП
принцип,
формулируемый в нек-рых разделах математики и заключающийся в том, что
каждому верному утверждению этого раздела отвечает двойственное утверждение,
к-рое может быть получено из первого путём замены входящих в него понятий
на другие, т. н. двойственные им понятия.
1) Д. п. формулируется в проективной
геометрии на плоскости. При этом двойственными понятиями являются, напр.,
"точка" и "прямая", "точка лежит на прямой" и "прямая проходит через точку".
Каждой аксиоме в проективной геометрии на плоскости формулируется двойственное
предложение, к-рое может быть доказано с помощью этих же аксиом (этим обосновывается
Д. п. в проективной геометрии на плоскости). Двойственными утверждениями
в проективной геометрии на плоскости являются известные теоремы Паскаля
и Брианшона. Первая из этих теорем утверждает, что во всяком шестивершиннике,
вписанном в линию 2-го порядка, точки пересечения противоположных
сторон лежат на одной прямой (рис. 1). Вторая теорема утверждает, что во
всяком шестистороннике, описанном около линии 2-го порядка, прямые, соединяющие
противоположные вершины, пересекаются в одной точке (рис. 2).
2) Д. п. в абстрактной теории
множеств. Пусть дано множество М. Рассмотрим систему всех его подмножеств
Л, В, С и т. д. Справедливо следующее предложение: если верна теорема о
подмножествах множества М, к-рая формулируется лишь в терминах операций
суммы, пересечения и дополнения, то верна также и теорема, получающаяся
на данной путём замены операции суммы и пересечения соответственно операциями
пересечения и суммы, пустого множества Л - всем множеством М, а множества
М
- пустым множеством Л. При этом дополнение суммы заменяется пересечением
дополнений, а дополнение пересечения - суммой дополнений.
Пример 1. Верному соотношению
двойственно соотношение (также верное)
Пример
2. Верному соотношению
двойственно соотношение (также верное)
где
- дополнения множеств
во
множестве
- сумма множеств
А и В, А U В- их пересечение.
3) Д. п. имеет место в математической
логике (в исчислении высказываний и в исчислении предикатов).
4) О топологич. законах двойственности
см. Топология.
Лит.: Ефимов Н. В., Высшая геометрия,
4 изд., М., 1961; Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и
функций, М.- Л., 1948; Гильберт Д. иАккерман В., Основы теоретической логики,
пер. с нем., М., 1947.
А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я