ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО

ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО вещественное
число, любое положительное число, отрицательное число или нуль. Д. ч. разделяются
на рациональные и иррациональные. Первые пред-ставимы как в виде рациональной
дроби, т. е. дроби p/q, где р и q - целые, q не=
0, так и в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби,
а вторые - только в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.

Строгая теория Д. ч., к-рая позволяет определять
иррациональные числа, исходя из рациональных, была развита лишь во 2-й
пол. 19 в. трудами К. Вейерштрасса, Р. Дедекинда и Г. Кантора.
Множество
всех Д. ч. наз. числовой прямой и обозначается R. Это множество
линейно упорядочено и образует иоле по отношению к осн. арифметич. операциям
(сложение и умножение). Множество рациональных чисел всюду плотно в R,
и R есть его п о-полнение. .Числовая прямая R подобна геометрии,
прямой, т. е. между числами из R и точками на прямой можно установить взаимно
однозначное соответствие с сохранением упорядоченности. Важнейшее свойство
числовой прямой состоит в её непрерывности. Принцип непрерывности числовой
прямой имеет неск. различных формулировок. Принцип Вейерштрасса: всякое
непустое ограниченное сверху числовое множество имеет (единственную) верхнюю
грань. Принцип Дедекинда: всякое сечение в области Д. ч. имеет рубеж. Принцип
Кантора (принцип стягивающихся отрезков): всякая стягивающаяся система
отрезков {[aчисловой прямой имеет
единств, число, принадлежащее всем отрезкам.

Теория Д. ч. является одним из важнейших
узловых вопросов математики. Свойства числовой прямой являются тем фундаментом,
на к-ром строится теория пределов, а вместе с ней - всё здание совр.
математического анализа. Подробнее см. Число. С. Б. Стечкин.