ДЕЛЕНИЕ

ДЕЛЕНИЕ действие, обратное умножению,
заключается
в нахождении одного из двух сомножителей, если известны произведение их
и др. сомножитель. Т. о., разделить а на b -
это значит найти
такое х, что bх = а или хb =
а. Результат Д.
х
наз.
частным, или отношением, а и b. Заданное произведение а
наз. делимым,
а заданный множитель b - делителем. Для обозначения Д. употребляют
знаки двоеточия (а : b) или горизонтальной (иногда наклонной) черты
(a/b, a/b).

В пределах системы целых чисел Д. не всегда
возможно (6 делится на 2 и 3, но не делится на 5, см. Делимость), но
в тех случаях, когда оно возможно, результат его всегда определён единств,
образом (как говорят, однозначно). В системе всех рациональных чисел (т.
е. чисел целых и дробных) Д. не только однозначно, но и всегда осуществимо,
за единств, исключением - Д. на нуль. Если исходить из данного выше определения
Д., то легко видеть, что Д. числа, отличного от нуля, на нуль невозможно.
Результатом Д. нуля на нуль, по определению,может быть любое число (т.
к. всегда с*0 = 0). Обычно в алгебре предпочитают (чтобы не нарушать однозначности
Д.) считать, что Д. на нуль невозможно во всех случаях.

От точного Д., к-рое до сих пор рассматривалось,
отличается Д. с остатком. Это, по существу, совершенно особая операция,
отличная от Д. в определ. выше смысле. Если а и b - целые неотрицательные
числа, то операция Д. с остатком числа а на число b состоит
в определении целых неотрицательных чисел х и у, удовлетворяющих
требованиям:

1) а = хb + у,

2) у < b.

При этом а наз. делимым, b -
делителем,
х
- частным, у - остатком. Эта операция всегда осуществима и всегда
однозначна. Если у = 0, то говврят, что а
делится на b
без
остатка. Аналогично определяется операция Д. с остатком для многочленов
вида Р(х) = ап + an-l+...
+ аОна состоит в нахождении по двум многочленам
Р(х)
и
Q(x)
двух многочленов
S(x) и R(x), удовлетворяющих требованиям:

1)P(x) = S(x)Q(x) + R(x);

2) степень R(x) меньше степени
Q(x).
Эта
операция также всегда осуществима и однозначна. Если R(x)
= 0, то
Р(х)
делится
на Q(x) без остатка.

Лит.: Депман И. Я., История арифметики,
2 изд., М., 1965; Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 9 изд., М., 1968.