ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ
1) аналитическая
функция комплексного переменного s = = о +
it, определяемая
при а > 1 формулой
Эту функцию для действительных s ввёл в
математич. анализ Л. Эйлер (1737), а для комплексных s впервые изучал
нем. математик Б. Риман (1859), поэтому её часто наз. дзета-функцией
Римана. После трудов Л. Эйлера (1748, 1749), П. Л. Че-бышева (1848) и Б.
Римана выяснилась глубокая связь между свойствами Д.-ф. и свойствами простых
чисел.
где произведение распространяется на все
простые числа р = 2, 3, 5, ...
Первостепенное значение для теории простых
чисел имеет распределение нулей Д.-ф. Известно, что Д.-ф. имеет нули в
точках s = -2п, где п = 1, 2, ... (эти нули принято называть
тривиальными) и что все остальные (т. н. нетривиальные) нули Д.-ф. находятся
в полосе 0 < о < 1, называемой критической полосой. Риман высказал
предположение, что все нетривиальные нули Д.-ф. расположены на прямой а
= 1/2. Эта гипотеза Римана до сих пор не доказана и не опровергнута. Важные
результаты о распределении нулей Д.-ф. получены при помощи созданного сов.
математиком И. М. Виноградовым нового метода в аналитич. теории
чисел.
Лит.: Эйлер Л., Введение в анализ
бесконечных, пер. с латин., 2 изд., т. 1, М., 1961; Уиттекер Э. Т., В а
т с о н Дж. Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 2,
М., 1963; Тптчмарш Е. К., Дзета-функция Римана, пер. с англ., М., 1947;
Ингам А. Е., Распределение простых чисел, пер. с англ., М. -Л., 1936; Янке
Е., Таблицы функций с формулами и кривыми, пер. с нем., М. -Л., 1948; Прахар
К., Распределение простых чисел, пер. с нем., М., 1967.
2) В теории эллиптических функций встречается
Д.-ф. Вейерштрасса
где $(и) - эллиптическая функция
Вейерштрасса. Эту Д.-ф. не следует смешивать с Д.-ф. Римана.
А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я