ДИОФАНТОВЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ

ДИОФАНТОВЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ часть теории
чисел, изучающая приближения действительных чисел рациональными числами,
или, при более широком понимании предмета, вопросы, связанные с решением
в целых числах линейных и нелинейных неравенств или систем неравенств с
действительными коэффициентами. Д. п. названы по имени древнегреческого
математика Диофанта, к-рый занимался задачей решения алгебраич.
уравнений в целых числах -т. н. диофаптовых уравнений. Методы теории
Д. п. основаны на применении непрерывных дробей, Фарея рядов и Дирихле
принципа.

Задача о приближении одного числа рациональными
дробями решается с помощью всех этих трёх методов и особенно с применением
непрерывных дробей. Приближение действительного числа о подходящими дробями
рk/qk
разложения
а в непрерывную дробь характеризуется неравенством |а - рk/qk|
< 1/qk²; с другой стороны, если несократимая дробь
а/b удовлетворяет неравенству |a - а/b|<
1/2 b²,
то она является подходящей дробью разложения а в непрерывную дробь. Глубокие
исследования о приближении действительных чисел
и рациональными
дробями принадлежат А. А. Маркову (старшему). Существует много расширений
задачи о приближении числа рациональными дробями; к ним прежде всего относится
задача об изучении выражений хO - у - а, где O и а
- нек-рые действительные числа, a x и у принимают целые значения
(т. н. неоднородная одномерная задача). Первые результаты в решении этой
задачи принадлежат П. Л. Чебышеву.
Среди разнообразных теорем о
приближённом решении в целых числах систем линейных уравнений (многомерные
задачи Д. п.) особенно известна теорема, принадлежащая Л. Кронекеру:
если
адействительные числа, для к-рых
равенство аaаa=
0 с целыми авозможно лишь при
aа= 0, a Внек-рые действительные числа, то при любом заданном е>0 можно найти число
t и такие целые числа
х1,..., хчто выполняются
неравенства |taх|<е,
k = 1,2,....n. Для решения многомерных задач Д. п. весьма плодотворным
является принцип Дирихле. Методы, основанные на принципе Дирихле, позволили
А. Я. Кинчину
и др. учёным построить систематич. теорию многомерных
Д. п. Для теории Д. п. важное значение имеет связь с геометрией, основанная
на том, что систему линейных форм с действительными коэффициентами можно
изобразить как решётку в я-мерном арифметич. пространстве. В конце 19 в.
Г. Минковский
доказал ряд геометрич. теорем, имеющих приложения
в теории Д. п.

В вопросах нелинейных Д. п. замечат. результаты
получил И. М. Виноградов. Созданные им методы занимают центральное
место в этой области теории чисел. Одной из важнейших задач теории Д. п.
является проблема приближения алгебраических чисел рациональными.

К Д. п. относится теория трансцендентных
чисел, в к-рой находят оценки для модулей линейных форм и многочленов
от одного и неск. чисел с целыми коэффициентами. Теория Д. п. тесно связана
с решением диофантовых уравнений и с различными задачами аналитической
теории чисел.

Лит.: Виноградов И. М., Метод тригонометрических
сумм в теории чисел, М., 1971; Гельфонд А. О., Приближение алгебраических
чисел алгебраическими же числами и теория трансцендентных чисел, "Успехи
математических наук", 1949, т. 4, в. 4; фельдман Н. И.,Шидловский А. Б.,
Развитие и современное состояние теории трансцендентных чисел, там же,
1967, т. 22, в. 3; Xинчин А. Я., Цепные дроби, 3 изд., М., 1961; Koksma
J. F., Diophantische Approximationen, В., 1936.

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я