ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ

ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ (по имени древнегреческого
математика Диофанта), алгебраические уравнения или системы алгебраич.
уравнений с целыми коэфф., имеющие число неизвестных, превосходящее число
уравнений, и у к-рых разыскиваются целые или рациональные решения. Понятие
Д. у. в совр. математике расширено: это уравнения, у к-рых разыскиваются
решения в алгебраических числах. Д. у. наз. также неопределёнными.
Простейшее Д. у. ах + by = 1, где а и b - целые взаимно
простые числа, имеет бесконечно много решений: если xи
y - одно решение, то числа х = ху = y- an (п - любое целое число) тоже будут
решениями. Так, все целые решения уравнения 2х + bу
= 1 получаются
по формулам х = 2 + Зn, у = - 1-2n
(здесь х= 2, гух²+
у² = z².
Целые положит, решения этого
уравнения представляют длины катетов х, у и гипотенузы z
прямоугольных
треугольников с целочисленными длинами сторон и наз.
пифагоровыми числами.
Все тройки взаимно простых пифагоро-вых чисел можно получить по формулам
х = т² - п², у- 2тп, z = т² + n²,
где т и п - целые числа (т>п>0). Диофант в соч.
"Арифметика" занимался разысканием рациональных (не обязательно целых)
решений специальных видов Д. у. Общая теория решения Д. у. первой степени
была создана в 17 в. франц. математиком К. Г. Баше; к нач. 19 в. трудами
П. Ферма, Дж. Валлиса,
Л.
Эйлера, Ж. Лагранжа и
К. Гаусса в основном было исследовано Д. у. вида ах²
+ bху + су² + dx + еу + f = 0, где а, Ь, с, d, е, f -
целые числа, т. е. общее неоднородное ур-ние второй степени с двумя
неизвестными. Ферма утверждал, напр., что Д. у. х² - dy²
= 1 (Пелля уравнение),
где
d - целое положительное число,
не являющееся квадратом, имеет бесконечно много решений. Валлис и Эйлер
дали способы решения этого ур-ния, а Лагранж доказал бесконечность числа
решений. С помощью непрерывных дробей Лагранж исследовал общее неоднородное
Д. у. второй степени с двумя неизвестными. Гаусс построил общую теорию
квадратичных форм, являющуюся основой решения нек-рых типов Д. у.
В исследованиях Д. у. степени выше второй с двумя неизвестными были достигнуты
серьёзные успехи лишь в 20 в. А. Туэ
установил, что Д. у. аn
+
an-ly
+ ... + аn
= с (где п>=3, а- целые и многочлен an+an-1+...+анеприводим
в поле рациональных чисел) не может иметь бесконечного числа целых решений.
Англ, математиком А. Бейкером получены эффективные теоремы о границах решений
нек-рых таких ур-ний. Б. Н. Делоне создал другой метод исследования,
охватывающий более узкий класс Д. у., но позволяющий определять границы
числа решений. В частности, его методом полностью решается Д. у. вида

ax³ + y³
= l.

Существует много направлений теории Д.
у. Так, известной задачей теории Д. у. является Ферма великая теорема.
Сов.
математикам (Б. Н. Делоне, А. О. Гельфонду, Д. К. Фаддееву
и
др.) принадлежат фундаментальные работы по теории Д. у.

Лит.: Гельфонд А. О., Решение уравнений
в целых числах, 2 изд., М., 1956; Dickson L. Е., History of the theory
of numbers, v. 2, Wash., 1920; Skо1em Т h., Diophantische Gleichungen,
В., 1938.