ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ уравнения,
содержащие искомые функции, их производные различных порядков и независимые
переменные. Теория Д. у. возникла в кон. 17 в. под влиянием потребностей
механики и других естественнонауч. дисциплин, по существу одновременно
с интегральным, исчислением и дифференциальным исчислением.

Простейшие Д. у. встречались уже в работах
И. Ньютона и Г. Лейбница, термин "Д. у." принадлежит Лейбницу.
Ньютон при создании исчисления флюксий и флюент (см. Флюксий исчисление)
ставил
две задачи: по данному соотношению между флюентами определить соотношение
между флюксиями; по данному ур-нию, содержащему флюксии, найти соотношение
между флюентами. С совр. точки зрения, первая из этих задач (вычисление
по функциям их производных) относится к дифференциальному исчислению, а
вторая составляет содержание теории обыкновенных Д. у. Задачу нахождения
неопределённого интеграла F(x) функции f(x) Ньютон рассматривал
просто как частный случай его второй задачи. Такой подход был для Ньютона
как создателя основ матем. естествознания вполне оправданным: в очень большом
числе случаев законы природы, управляющие теми или иными процессами, выражаются
в форме Д. у., а расчёт течения этих процессов сводится к решению Д. у.

Следующие два простых примера могут служить
иллюстрацией к сказанному.

1) Если тело, нагретое до темп-ры Т,
помещено
в среду, темп-pa к-рой равна нулю, то при известных условиях можно считать,
что приращение ДГ (отрицательное в случае T>0) его темп-ры за малый промежуток
времени Дt с достаточной точностью выражается формулой ДT= -kTДt,

где k - постоянный коэффициент.
При матем. обработке этой физ. задачи считают, что выполняется точно соответствующее
предельное соотношение между дифференциалами dT=-kTdt, (1) т. е.
имеет место Д. у. T'=-kT, где Т' обозначает производную по
t.
Решить
полученное Д. у., или, как выражаются иначе, проинтегрировать его, значит
найти функции, обращающие его в тождество. Для ур-ния (1) все такие функции
(т. е. все его частные решения) имеют вид T = Ce-^kt,
(2)
где С постоянно. Сама формула (2) с произвольной постоянной С наз. общим
решением ур-ния (1).

2) Пусть, напр., груз р массы т
подвешен
к пружине и находится в положении равновесия (рис. 1, а).
Отклоняя
его от положения равновесия с помощью растяжения пружины (рис. 1, б), приводят
груз в движение.

Рис. 1.

Если x(t) обозначает величину отклонения
тела от положения равновесия в момент времени t, то ускорение тела
выражается 2-й производной x"(t). Сила mx"(t), действующая
на тело, при небольших растяжениях пружины по законам теории упругости
пропорциональна отклонению x(t). Т. о., получается Д. у. mx"(t)=-kx(t).
(3)
Его решение имеет вид:

и показывает, что тело будет совершать
гармонические
колебания (рис. 1, в).

Теория Д. у. выделилась в самостоятельную
детально разработанную науч. дисциплину в 18 в. (труды Д. Бер-нулли,
Ж.
Д'Аламбера
и особенно Л. Эйлера).

Д. у. делятся на "обыкновенные",
содержащие производные одной или нескольких функций одного независимого
переменного, и -"уравнения с частными производными", содержащие частные
производные функций нескольких независимых переменных. Порядком Д. у. наз.
наибольший порядок входящих в него производных. Так,



с частными производными 2-го порядка.

Обыкновенные дифференциальные уравнения.
Уравнения
1-го порядка. Обыкновенным Д. у. 1-го порядка с одной неизвестной функцией
(только такие пока будут рассматриваться) наз. соотношение F(x, у, у')
= О (А) между независимым переменным х, искомой функцией
у и
её производной . Если ур-ние (А) может быть разрешено относительно
производной, то получается ур-ние вида у'=f(x, у)- (Б) Многие вопросы
теории Д. у. проще рассматривать для таких разрешённых относительно производной
ур-ний, предполагая функцию f(x,y) однозначной.

Ур-ние (Б) можно записать в виде соотношения
между дифференциалами f(x, y)dx-dy = 0, тогда оно становится частным
случаем ур-ний вида

Р (х, y)dx + Q (х,у) dy = 0. (В)
В ур-ниях вида (В) естественно считать переменные х и у равноправными,
т. е. не интересоваться тем, какое из них является независимым.

Геометрическая интерпретация дифференциальных
уравнений. Пусть у = у(х) есть решение ур-ния (Б). Геометрически
это значит, что в прямоугольных координатах касательная к кривой у =
у(х) имеет в каждой лежащей на ней точке М (х,у) угловой коэффициент
k
= f(x,y). Т. о., нахождение решений у = у(х) геометрически
сводится к такой задаче: в каждой точке нек-рой области на плоскости задано
"направление", требуется найти все кривые, к-рые в любой своей точке М
имеют
направление, заранее сопоставленное этой точке. Если функция
f(x,y)
непрерывна,
то это направление меняется при перемещении точки
М
непрерывно,
и можно наглядно изобразить поле направлений, проведя в достаточно большом
числе достаточно густо расположенных по всей рассматриваемой области точек
короткие чёрточки с заданным для этих точек направлением. На рис. 2 это
выполнено для

Рис. 2.

уравнения у' = у². Рисунок
позволяет сразу представить себе, как должны выглядеть графики решения
- т. н. интегральные кривые Д. у. Вычисление показывает, что общее ре-

На рис. 2 вычерчены интегральные кривые,
соответствующие значениям параметра С = 0 и С = 1.

График любой однозначной функции у =
у(х) пересекает каждую прямую, параллельную оси Оу, только один
раз. Таковы, следовательно, интегральные кривые любого ур-ния (Б) с однозначной
непрерывной функцией в правой части. Новые возможности для вида интегпаль-ных
кривых открываются при переходе к ур-ниям (В). При помощи пары непрерывных
функций Р(х, у) и О (х, у) можно задать любое непрерывное
"поле направлений". Задача интегрирования ур-ний (В) совпадает с чисто
геометрической (не зависящей от выбора осей координат) задачей разыскания
интегральных кривых по заданному на плоскости полю направлений. Следует
заметить, что тем точкам (xР
(х, у) и Q (х, у) обращаются в нуль, не соответствует к.-л.
определённое направление. Такие точки наз. особыми точками уравнения (В).

Пусть, напр., задано уравнение ydx +
xdy = 0, к-рoe можно записать в виде

хотя, строго говоря, правая часть этого
последнего уравнения теряет смысл при х = 0 и у = 0. Соответствующие
поле направлений и семейство интегральных кривых, являющихся в этом случае
окружностями х² + у² = С, изображены на рис.
3.

Рис. 3. Рис. 4.

Начало координат (х = 0, у =
0) - особая точка данного уравнения. Интегральными кривыми уравнения ydx
- xdy = 0, изображёнными на рис. 4, являются всевозможные прямолинейные
лучи, выходящие из начала координат; начало координат является особой точкой
и этого ур-ния.

Начальные условия. Геом. интерпретация
Д. у. 1-го порядка приводит к мысли, что через каждую внутр. точку М
области G с заданным непрерывным полем направлений можно провести одну
вполне определённую интегральную кривую.

В отношении существования интегральной
кривой сформулированная гипотеза оказывается правильной. Доказательство
этого предложения принадлежит Дж. Пеано. В отношении же единственности
интегральной кривой, проходящей через заданную точку, высказанная выше
гипотеза оказывается, вообще говоря, ошибочной. Уже для такого простого
ур-ния, как

у к-рого правая часть непрерывна во всей
плоскости, интегральные кривые имеют вид, изображённый на рис. 5. Единственность
интегральной кривой, проходящей через заданную точку, нарушается здесь
во всех точках оси Ох.

Рис. 5.

Единственность, т. е. однозначное определение
интегральной кривой условием её прохождения через заданную точку, имеет
место для ур-ний (Б) с непрерывной правой частью при том дополнительном
условии, что функция f (x,y) имеет в рассматриваемой области ограниченную
производную по у.

Это требование является частным случаем
следующего, несколько более широкого условия Липшица: существует такая
постоянная L, что в рассматриваемой области всегда |f(x, у)-f(x,
у)|
<L | у |. Это условие чаще всего
приводится в учебниках как достаточное условие единственности.

С аналитич. стороны теоремы существования
и единственности для уравнения вида (Б) обозначают следующее: если выполнены
надлежащие условия [напр., функция f (x, у) непрерывна и имеет ограниченную
производную по у], то задание для "начального" значения Хо независимого
переменного х "начального" значения уфункции
у(х)
выделяет из семейства всех решений у(х) одно определённое решение.
Напр., если для рассмотренного выше уравнения (1) потребовать, чтобы в
начальный момент времени tзначению Т(2) выделится
одно определённое решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:
T(t) = T-kT.

Этот пример типичен: в механике и физике
Д. у. обычно определяют общие законы течения к.-л. явления; однако, чтобы
получить из этих законов определённые количеств, результаты, надо присоединить
к ним сведения о начальном состоянии изучаемой физ. системы в нек-рый определённый
выбранный в качестве "начального" момент времени t

Если условия единственности выполнены,
то решение у(х), удовлетворяющее условию у(х,
можно записать в виде:

y(x) = ф(x; х),
(5)

где хи y
входят как параметры, функция же ф (х; х)
трёх переменных х, хи y однозначно
определяется самим уравнением (Б). Важно отметить, что при достаточно малом
изменении поля (правой части Д. у.) функция Ф (х; х)
меняется сколь угодно мало на конечном промежутке изменения переменного
х
- имеется непрерывная зависимость решения от правой части Д. у. Если
правая часть f(x, у) Д. у. непрерывна и её производная по у
ограничена
(или удовлетворяет условию Липшица), то имеет место также непрерывность
ф (х; xпо х.

Если в окрестности точки (худля уравнения (Б) выполнены условия единственности,
то все интегральные кривые, проходящие через достаточно малую окрестность
точки (хпересекают вертикальную прямую
х
=
хи определяются ординатой у = С своей точки
пересечения с этой прямой (см. рис. 6). Т. о., все эти решения содержатся
в семействе с одним параметром С: y(x) = F(x,C), к-рое является
общим решением Д- у. (Б).

Рис. 6.

В окрестности точек, в к-рых нарушаются
условия единственности, картина может быть сложнее. Весьма сложен и вопрос
о поведении интегральных кривых "в целом", а не в окрестности точки (ху о).

Общий интеграл. Особые решения. Естественно
поставить обратную задачу: задано семейство кривых, зависящих от параметра
С, требуется найти Д. у., для к-рого кривые заданного семейства служили
бы интегральными кривыми. Общий метод для решения этой задачи заключается
в следующем: считая семейство кривых на плоскости хОу заданным при
помощи соотношения F(x,y,C) = 0, (6) дифференцируют (6) при постоянном
С и получают

и из двух уравнений (6) и (7) или (6) и
(8) исключают параметр С. Если данное Д. у. получается таким образом
из соотношения (6), то это соотношение наз. общим интегралом заданного
Д. у. Одно и то же Д. у. может иметь много различных общих интегралов.
После нахождения для заданного Д. у. общего интеграла оказывается необходимым,
вообще говоря, ещё исследовать, не имеет ли Д. у. дополнительных решений,
не содержащихся в семействе интегральных кривых (6).

Пусть, напр., задано семейство кривых (x-С)³-y=
0. (9)

Дифференцируя (9) при постоянном С, получают
3(x-С)²-y' = 0, после же исключения С приходят к Д у 27y²-(y)³
= 0, (10) равносильному ур-нию (4). Легко ви-Деть, что, кроме решений (9),
ур-ние (10) имеет решение y= 0. (11) Решение уравнения (10) самого
общего вида таково:

где - БЕСКОНЕЧНОСТЬ =<C1=<C2=<
+ БЕСКОНЕЧНОСТЬ (рис. 7). Оно зависит от двух параметров С1 и С2, но составляется
из кусков кривых однопараметрич. семейства (9) и куска особого решения
(11).

Рис. 7.

Решение (11) уравнения (10) может служить
примером особого решения Д. у. В качестве другого примера можно рассмотреть
семейство прямых 4(y-Сx) + С² = 0. (12) Эти прямые являются
интегральными кривыми Д. у. 4(у-ху') + (у') = 0.

Особой же интегральной кривой этого Д.
у. служит парабола x²-y=0 огибающая прямые (12) (рис. 8). Картина,
наблюдавшаяся в рассмотренном примере, типична; особые интегральные кривые
обычно являются огибающими семейства интегральных кривых, получаемых из
общего решения.

Рис. 8.

Дифференциальные у р-ния высших порядков
и системы дифференциальных у р-ний. Д. у. и-го порядка с одной неизвестной
функцией у(х) независимого переменного х записывают так:
F(x,y,
y', у", ... , y^(n-1), yⁿ) = 0.(13) Если ввести
дополнительные неизвестные функции

y1 = y', y2 = y",..., y= y^n-1, (14) то уравнение (13) можно заменить системой из п
уравнений
с п неизвестными функциями, но зато 1-го порядка. Для этого достаточно
к п-1 ур-ниям (14) присоединить ур-ние F(x, у, y1, y2,...,
y

Аналогичным образом сводятся к системам
ур-ний 1-го порядка и системы ур-ний высших порядков. В механике сведение
систем ур-ний 2-го порядка к системе из удвоенного числа ур-ний 1-го порядка
имеет простой механич. смысл. Напр., система трёх ур-ний движения материальной
точки тх" = р(х, у, z), my" = Q(x, у, z), mz" = R(x, у, z), где
х,
у, z - координаты точки, зависящие от времени t, сводится к
системе шести ур-ний: ти'=р(х, у, z), mv' = Q(x, у, z), mw' = R(x, у,
z), и = х', v = y', w = z' при помощи введения в качестве новых переменных
составляющих и, v, w скорости.

Наибольшее значение имеют системы, в к-рых
число ур-ний равно числу неизвестных функций. Система из п ур-ний
1-го порядка с п неизвестными функциями, разрешённая относительно
производных, имеет вид:

Решением системы Д. у. (а) наз. система
функций xt(t), *xк-рая
при подстановке в уравнения (а) обращает их в тождества. Часто встречаются
системы вида (а), в к-рых правые части не зависят от f. В этом случае изучение
системы (а) в основном сводится к изучению системы из (и - 1)-го уравнения,
к-рую целесообразно записывать в симметричной форме



не предрешая вопроса о том, от какого
из переменных хмыслятся
зависящими остающиеся п - 1 переменных. Считая х = (ххвектором, можно записать систему
(а) в виде одного векторного ур-ния:



что позволяет широко пользоваться при
изучении систем (а) аналогией с теорией одного ур-ния 1-го порядка вида
(Б). В частности, оказывается, что для систем (а) сохраняют силу основные
результаты относительно существования и единственности решения задачи с
начальными условиями: если в окрестности точки (tх⁰, х⁰ ,..., х⁰
) все функции F1 непрерывны по совокупности переменных t, xхи имеют ограниченные производные
по переменным xто
задание начальных значений xi (t0,
i
= 1,2,..., п, определяет одно, вполне определённое, решение
системы (а). Этим объясняется то, что, вообще говоря, решение систем из
п
уравнений
1-го порядка с п неизвестными функциями зависит от
п параметров.

Для приведённых выше конкретных примеров
Д. у. их общее решение удаётся выразить при помощи элементарных функций.
Типы Д. у., допускающие такого рода решение, детально изучаются. Часто
придерживаются более общей точки зрения, считая Д. у. "решённым", если
искомая зависимость между переменными (и входящими в общее решение параметрами
Cфункций и одной или нескольких операций взятия неопределённого интеграла
("решение выражено в квадратурах").

Большой общностью обладают способы нахождения
решений при помощи разложения их в степенные ряды. Напр., если правые части
ур-ний (а) в окрестности точки (t0, х⁰0голоморфны
(см. Аналитические функции), то решение соответствующей начальной
задачи выражается функциями xi (t), разлагающимися в степенные ряды:

коэффициенты к-рых можно найти последовательным
дифференцированием правых частей Д. у. (а) и сопоставлением коэффициентов
при одинаковых степенях в левых и правых частях этих ур-ний.

Из специальных типов Д. у. особенно хорошо
разработана теория линейных Д. у. и систем линейных Д. у. (см. Линейные
дифференциальные уравнения).

Для линейных Д. у. сравнительно
просто решаются также вопросы "качественного" поведения интегральных кривых,
т. е. их поведение во всей области задания Д. у. Для нелинейных Д. у.,
где нахождение общего решения особенно сложно, вопросы качеств, теории
Д. у. приобретают иногда даже доминирующее значение. После классич. работ
А. М. Ляпунова ведущую роль в качеств, теории Д. у. играют работы
сов. математиков, механиков и физиков. В связи с этой теорией см. Динамическая
система, Особая точка, Устойчивость, Предельный цикл.

Большое значение имеет аналитич. теория
Д. у., изучающая решения Д. у. с точки зрения теории аналитич. функций,
т. е. интересующаяся, напр., расположением их особых точек в комплексной
плоскости и т. п.

Наряду с рассмотренной выше начальной задачей,
в к-рой задаются значения искомых функций (а в случае ур-ний старших порядков
и их производных) в одной точке (при одном значении независимого переменного),
находят широкое применение краевые задачи.

Дифференциальные уравнения с частными производными.
Типичной особенностью Д. у. с частными производными и систем Д. у. с частными
производными является то, что для однозначного определения частного решения
здесь требуется задание не значений того или иного конечного числа параметров,
а нек-рых функций. Напр., общим решением уравнения

является выражение u(t,x) = f(x + t)
+ g(x-t), где f и g - произвольные функции. Т. о., Д.
у. (16) лишь в той мере ограничивает произвол в выборе функции двух переменных
и(х,у),
что
её удаётся выразить через две функции f(z) и
g(v) от одного
переменного, к-рые остаются [если в дополнение к ур-нию (16) не дано к.-л.
"начальных" или "краевых" условий] произвольными.

Типичной задачей с начальными условиями
для системы Д. у. с частными производными 1-го порядка

где независимыми переменными являются t,
xa uсуть
функции от этих независимых переменных, может служить задача Коши: по заданным
при к.-л. t = to значениям ui(t0,x1,...,хх i=1, 2,..., т, найти функции т (t, xi, ...,
х

В теории Д. у. с частными производными
порядка выше первого и систем Д. у. с частными производными рассматриваются
как задачи типа Коши, так и ряд краевых задач.

При постановке и решении краевых задач
для Д. у. с частными производными порядка выше первого существенное значение
имеет тип ур-ния. В качестве примера можно привести классификацию Д. у.
с частными производными 2-го порядка с одной неизвестной функцией z
(х, у) от двух переменных: F(x, у, z, р, q, r, s, t) = 0, (18)
где

то (18) есть эллиптическое у р-ние. Примером
может служить ур-ние Лапласа:

Если D<0, то (18) есть гиперболическое
у р-н и е. Примером может служить ур-ние колебания струны:

Если D = 0, то (18) есть параболическое
у р-н и е. Примером может служить ур-ние распространения тепла:

О краевых задачах для этих различных типов
ур-ний см. Уравнения математической физики.

Лит.: Обыкновенные< Д. у.Степанов
В. В., Курс дифференциальных уравнений, 8 изд., М., 1959; Петровский И.
Г., Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений, 5 изд., М.,
1964; Понтрягин Л. С., Обыкновенные дифференциальные уравнения, 2 изд.,
М., 1965; Камке Э., Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям,
пер. с нем., 3 изд., М., 1965; Филиппов А. Ф., Сборник задач по дифференциальным
уравнениям, 2 изд., М., 1965.

Д. у. с частными производными. Петровский
И. Г., Лекции об уравнениях с частными производными, 3 изд., М., 1961;
Тихонов А.Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 3 изд.,
М., 1966; Соболев С. Л., Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1966;
Смирнов М. М., Задачи по уравнениям математической физики, 5 изд., М.,
1968. По материалам одноимённой статьи из 2-го издания БСЭ.