ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ОТКЛОНЯЮЩИМСЯ АРГУМЕНТОМ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ОТКЛОНЯЮЩИМСЯ АРГУМЕНТОМ уравнения, связывающие аргумент, а также искомую функцию
и её производные, взятые, вообще говоря, при различных значениях этого
аргумента (в отличие от обычных дифференциальных уравнений). Примерами
могут служить ур-ния

где постоянные а, т, k заданы;
t
= t -- (t - t) в ур-нии (1) и t - kt в ур-нии (2)
- отклонения аргумента. Такие ур-ния появились в кон. 18 в. Неоднократно
рассматривались сами по себе и в связи с решением геом. задач, а позднее
-в связи с различными приложениями, прежде всего к теории регулирования.
Построение систематич. теории Д. у. с о. а. было начато в 50-х гг. 20 в.,
а уже с 60-х гг. эта теория представляет собой значительный отдел матем.
анализа.

Наиболее хорошо изучены линейные однородные
автономные (т. е. с постоянными коэффициентами и постоянными отклонениями
аргумента) Д. у. со. а.; к таким ур-ниям относится, напр., (1). Здесь имеется
достаточно полная система решений вида х = е^pt, причём
для отыскания р получается трансцендентное характеристическое ур-ние
вида Р(р) = 0, где Р(р) - сумма членов вида Aр^т е^aр,
m>0- целое [напр., для (1) имеем Р(р) = р - aе^-tр].
Это ур-ние имеет, вообще говоря, бесконечное число комплексных корней.
Прочие решения рассматриваемого Д. у. с о. а. разлагаются в ряды по указанным
простейшим решениям, и поэтому об основных свойствах совокупности решений,
в частности об их устойчивости, можно судить по расположению нулей функции
Р(р).

Важнейший и наиболее изученный класс Д.
у. с о. а. образуют дифференциальные ур-ния с запаздывающим аргументом,
в к-рых старшая производная от искомой функции при к.-л. значении аргумента
определяется через саму эту функцию и её младшие производные, взятые при
меньших либо равных значениях аргумента. Примеры: ур-ние (1) при t=>0(t-
запаздывание); ур-ние (2) при k=<1 и t=>0. Эти ур-ния и их системы,
если аргументом служит время, описывают процессы с последействием, скорость
к-рых в любой момент определяется их состоянием не только в тот же момент
(как для обычных дифференциальных ур-ний), но и в предшествующие моменты.
Такая ситуация возникает, в частности, в системах автоматич. управления
при наличии запаздывания в органе управления. Уравнения с запаздывающим
аргументом во многом напоминают обыкновенные дифференциальные ур-ния, однако
в ряде отношений отличаются от них. Напр., если решение ур-ния (1) строится
при t=>t, то в качестве начального условия х (t)
должно
быть задано при t-t=<t=<t,
решение
можно строить последовательно на интервалах t=<t=<tt,
t
+ t=<tt, пользуясь на каждом шаге результатом
вычислений с предыдущего шага. В линейном автономном случае к таким ур-ниям
можно применять методы операционного исчисления.

Лит.: Пинни Э., Обыкновенные дифференциально-разностные
уравнения, пер. с англ., М., 1961; Беллман Р., Кук К.,

Дифференциально-разностные уравнения, пер.
с англ., М., 1967; Мышкис А. Д., Эльсгольц Л. Э., Состояние и проблемы
теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, "Успехи математических
наук", 1967, т. 22, в. 2 (134) (библ.): Эльсгольц Л. Э., Норкин С. Б.,
Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом,
2 изд., М., 1971. А. Д. Мышкис.

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я