ДРОБЬ

ДРОБЬ в арифметике, число, составленное
из целого числа долей единицы. Д. изображается символом m/n, где
m
- числитель Д. - показывает число взятых долей единицы, разделённой
на столько долей, сколько показывает (знаменует) знаменатель п. Д.
можно рассматривать как частное от деления одного целого числа (m)
на другое (п). Если m делится нацело на n, то частное m/n
обозначает целое число (напр.,6/3 = 2, 33/11 = 3). В случае, когда это
не так, частное - является дробным числом (напр., 3/7,0/12 ).

Числитель и знаменатель Д. можно одновременно
умножать или делить на одно и то же число, не изменяя величины Д. Всякую
Д. можно представить посредством сокращения в виде несократимой, т. е.
такой, у к-рой числитель и знаменатель не имеют общих множителей, напр.16/72
- есть сократимая Д. (16/72 = (2*8)/(9*8) = 2/9), а 27/64 - несократимая.
Чтобы сложить Д. с общим знаменателем, надо сложить их числители и оставить
тот же знаменатель: a/b+c/b+d/b=(a+c+d)/b

Чтобы сложить неск. Д. с разными знаменателями,
надо предварительно привести их к общему знаменателю. Подобным же образом
совершается вычитание Д. Чтобы перемножить неск. Д., надо произведение
числителей разделить на произведение знаменателей: a/b*c/d=ac/bd

Определяя деление как действие, обратное
умножению, получают след, правило деления Д.: a/b : c/d= ad/bc. Если числитель
Д. меньше знаменателя, то Д. наз. правильной, в противном случае - неправильной.
Неправильная Д. может быть представлена в виде суммы целого числа и правильной
Д. (смешанного числа). Для этого надо числитель разделить (с остатком)
на знаменатель. Напр., 91/17 = (5*17+6)/17=

= 5 + 6/17 = 5⁶/Это положение элементарной арифметики обобщается на любые действит. числа:
действит. число х можно единственным образом представить в виде
х
=
п + d, где п - целое и 0 < d < 1. Число
п
наз. целой частью х и обозначается [х]. Число d = х
- [х] наз. дробной частью х. Десятичной дробью наз. Д., знаменатель
к-рой есть степень 10. Такую Д. пишут без знаменателя; напр., = 548,1475=
23/1000=0,023

О непрерывных Д. см. Непрерывная дробь.

Операции над Д. встречаются уже в древнеегипетском
папирусе Ахмеса (ок. 2000 дон. э.), где считаются допустимыми только Д.
вида - (аликвотные Д.), а потому ставится своеобразная "египетская" задача
о представлении любой Д. суммой неравных между собой Д. вида -(к последним,
в виде исключения, присоединялась ещё Д.^2/7/=¹/¹/+ ¹/

В древневавилонских памятниках письменности
встречаются т. н. сексагезимальные Д., т. е. Д., знаменатель к-рых есть
степень 60, игравшие большую роль в античной арифметике; деление единицы
на 60 и 3600 = 60² частей сохранилось и до настоящего времени
в делении часа или градуса на 60 мин (1/60) и каждой минуты на 60
сек.
У
древних индийцев, по-видимому, впервые зародилось совр. обозначение Д.

Лит.: Энциклопедия элементарной
математики, кн. 1 - Арифметика, М.- Л., 1951; Депман И. Я., История арифметики,
2 изд., М., 1965.