ЗНАКИ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
условные
Первые 3. м. для произвольных величин
Начатки буквенного изображения и исчисления
Создание совр. алгебраич. символики
у нем. математика М. Штифеля
у итал. математика Р. Бомбелли
у франц. математика Ф. Виета
у англ. математика Т. Гарриота
В 16 и нач. 17 вв. входят
Значит. шагом вперёд в развитии
Виет явился творцом алгебраич.
Дальнейшее развитие 3. м.
введён У. Гамильтон многие математики 1853 начало 20 в. И. Ньютон в своём
Создателем совр. символики
Огромная заслуга в создании
В 19 в. роль символики возрастает.
Наряду с указанным процессом
С точки зрения математич.
Знаки каждой из трёх групп
Примеры знаков первого рода
А Б В Знаки второго рода изображают
х обозначает любое
С логич. точки зрения, законно
А Б Обозначения для "переменных
Лит.: Cajori F., A
А
Б
В
Г
Д
Е
Ё
Ж
З
И
Й
К
Л
М
Н
О
П
Р
С
Т
У
Ф
Х
Ц
Ч
Ш
Щ
Ъ
Ы
Ь
Э
Ю
Я
обозначения, предназначенные для записи математяч. понятий, предложений
и выкладок. Напр.,
(квадратный
корень из двух),
(три больше
двух) и т. п. Развитие математич. символики было тесно связано с общим
развитием понятий и методов математики. Первыми 3. м. были знаки для изображения
чисел - цифры, возникновение к-рых, по-видимому, предшествовало
письменности. Наиболее древние системы нумерации - вавилонская и египетская
- появились ещё за З1/
появились много позднее (начиная с 5-4 вв. до н. э.) в Греции. Величины
(площади, объёмы, углы) изображались в виде отрезков, а произведение двух
произвольных однородных величин - в виде прямоугольника, построенного на
соответствующих отрезках. В "Началах" Евклида (3 в. до н. э.) величины
обозначаются двумя буквами - начальной и конечной буквами соответствующего
отрезка, а иногда и одной. У Архимеда (3 в. до нашей эры) последний
способ становится обычным. Подобное обозначение содержало в себе возможности
развития буквенного исчисления. Однако в классической античной математике
буквенного исчисления создано не было.
возникают в позднеэллинистич. эпоху в результате освобождения алгебры от
геометрич. формы. Диофант (вероятно, 3 в.) записывал неизвестную
(х)
и
её степени следующими знаками:
относится к 14-17 вв.; оно определялось успехами практич. арифметики и
учения об уравнениях. В различных странах стихийно появляются 3. м. для
нек-рых действий и для степеней неизвестной величины. Проходят многие десятилетия
и даже века, прежде чем вырабатывается тот или
иной удобный символ. Так, в кон. 15 в. Н. Шюке и Л. Пачоли употребляли
знаки сложения и вычитания р и m (от лат. plus и minus), нем. математики
ввели современные + (вероятно, сокращение лат. et) и -. Ещё в 17 в. можно
насчитать около десятка 3. м. для действия умножения.
(1544):
(1572):
(1591):
(1631):
в употребление знаки равенства и скобки: квадратные (Р. Бомбелли, 1550),
круглые (Н. Тарталья, 1556), фигурные (Ф. Виет, 1593). В
16 в. современный вид принимает запись дробей.
математич. символики явилось введение Вие-том (1591) 3. м. для произвольных
постоянных величин в виде прописных согласных букв лат. алфавита В, D,
что дало ему возможность впервые записывать алгебраич. уравнения с произвольными
коэффициентами и оперировать ими. Неизвестные Виет изображал гласными прописными
буквами А, Е,... Напр., запись Виета
[
cubus - куб, planus - плоский, т. е. В - двумерная величина; solid us -
телесный (трёхмерный), размерность отмечалась для того, чтобы все члены
были однородны] в наших символах выглядит так:
формул. Р. Декарт (1637) придал знакам алгебры совр. вид, обозначая
неизвестные последними буквами лат. алфавита х, у, г, а произвольные
данные величины - начальными буквами а, Ь, с. Ему же принадлежит
нынешняя запись степени. Обозначения Декарта обладали большим преимуществом
по сравнению со всеми предыдущими. Поэтому они скоро получили всеобщее
признание.
было тесно связано с созданием анализа бесконечно малых, для разработки
символики к-рого основа была уже в большой мере подготовлена в алгебре.
Даты
возникновения некоторых математических знаков
Знак
Значение
Кто
ввёл
Когда
бесконечность
Дж.
Валлис
1655
основание
натуральных логарифмов
Л.
Эйлер
1736
отношение
длины окружности к диаметру
У.
Джонс Л. Эйлер
1706
1736
корень
квадратный из - 1
Л.
Эйлер
1777
(в печати 1794)
единичные
векторы, орты
У.
Гамильтон
1853
угол
параллельности
Н.
И. Лобачевский
1835
неизвестные
или переменные величины
Р.
Декарт
1637
вектор
О.
Коши
1853
немецкие
математики
конец
15 в.
умножение
умножение
У.
Оутред Г. Лейбниц
1631
1698
деление
Г.
Лейбниц
1684
степени
Р.
Декарт И. Ньютон
1637
1676
корни
К.
Рудольф А. Жирар
1525
1629
логарифм
И.
Кеплер Б. Кавальери
1624
1632
Л.
Эйлер
1748
тангенс
Л.
Эйлер
1753
арксинус
Ж.
Лагранж
1772
В.
Риккати
1757
дифференциал
Г.
Лейбниц
1675
(в печати 1684)
интеграл
Г.
Лейбниц
1675
(в печати 1686)
производная
Г.
Лейбниц
1675
производная
разность
Ж.
Лагранж Л. Эйлер
1770,
1779 1755
частная
производная
Л.
Лежандр
1786
определённый
интеграл
Ж.
Фурье
1819-22
сумма
Л.
Эйлер
1755
произведение
К.
Гаусс
1812
факториал
К.
Крамп
1808
модуль
К.
Вейерштрасс
1841
предел
С.
Л юн лье
1786
дзета-функция
Б.
Риман
1857
гамма-функция
А.
Лежандр
1808
бета-функция
Ж.
Бине
1839
дельта
(оператор Лапласа)
Р.
Мёрфн
1833
набла
(оператор Гамильтона)
У.
Гамильтон
1853
функция
И.
Бернулли Л. Эйлер
1718
1734
равенство
Р.
Рекорд
1557
Т.
Гарриот
1631
сравнимость
К.
Гаусс
1801
параллельность
У.
Оутред
1677
перпендикулярность
П.
Эригон
1634
методе флюксий и флюент (1666 и след. гг.) ввёл знаки для последовательных
флюксий (производных) величины х в виде
и для бесконечно малого приращения о. Несколько ранее Дж. Валлис
(1655)
предложил знак бесконечности
дифференциального и интегрального исчислений является Г. Лейбниц. Ему,
в частности, принадлежат употребляемые ныне 3. м. дифференциалови интеграла
символики современной математики принадлежит Л. Эйлеру. Он ввёл
(1734) в общее употребление первый знак переменной операции, именно знак
функции f(x) (от лат. functio). После работ Эйлера знаки для многих
индивидуальных функций, например тригонометрических, приобрели стандартный
характер. Эйлеру же принадлежат обозначения постоянных е (основание
натуральных логарифмов, 1736),
[вероятно, от греческого
(periphereia) - окружность, периферия, 1736], мнимой единицы
(от франц. imaginaire - мнимый, 1777, опубликовано в 1794).
В это время появляются знаки абсолютной величины
(К.
Вейерштрасс,
1841),
вектора
(О. Коши
1853),
определителя (А. Кэли, 1841) и др. Многие теории,
возникшие
в 19 в., напр. тензорное исчисление, не могли быть развиты без подходящей
символики.
стандартизации 3. м. в совр. лит-ре весьма часто можно встретить 3. м.,
используемые отд. авторами только в пределах данного исследования.
логики, среди 3. м. можно наметить следующие осн. группы: А) знаки объектов,
Б) знаки операций, В) знаки отношений. Напр., знаки 1, 2, 3, 4 изображают
числа, т. е. объекты, изучаемые арифметикой. Знак операции сложения + сам
по себе не изображает никакого объекта; он получает предметное содержание,
когда указано, какие числа складываются: запись 1+3 изображает число 4.
Знак > (больше) есть знак отношения между числами. Знак отношения получает
вполне определенное содержание, когда указано, между какими объектами отношение
рассматривается. К перечисленным трём осн. группам 3. м. примыкает четвёртая:
Г) вспомогательные знаки, устанавливающие порядок сочетания осн. знаков.
Достаточное представление о таких знаках дают скобки, указывающие порядок
производства действий.
А), Б) и В) бывают двух родов: 1) индивидуальные знаки вполне определённых
объектов, операций и отношений, 2) общие знаки "переменных", или "неизвестных",
объектов, операций и отношений.
могут служить (см. также таблицу на стр. 549):
и
;
мнимой единицы i.
, : ; извлечения
корня
, дифференцирования
; знаки суммы (объединения)
и произведения (пересечения)
множеств; сюда же относятся знаки индивидуальных функций sin, tg, log и
т. п.
,
знаки параллельности
и перпендикулярности
,
знаки принадлежности
элемента
нек-рому множеству и включения
одного множества в другое и т. п.
произвольные объекты, операции и отношения определённого класса или объекты,
операции и отношения, подчинённые к.-л. заранее оговорённым условиям. Напр.,
при записи тождества (a + b) (a - b) = = а2-
b2буквы
а и b обозначают произвольные числа; при изучении функциональной
зависимости у = х2 буквы
х
и у - произвольные
числа, связанные заданным отношением; при решении уравнения
число, удовлетворяющее данному уравнению (в результате решения этого уравнения
мы узнаём, что этому условию соответствуют лишь два возможных значения
+1 и - 1).
такого рода общие знаки называть знаками переменных, как это принято в
математич. логике, не пугаясь того обстоятельства, что "область изменения"
переменного может оказаться состоящей из одного единств. объекта или даже
"пустой" (напр., в случае уравнений, не имеющих решения). Дальнейшими примерами
такого рода знаков могут служить:
F,
для функций и обозначения
операторного исчисления, когда одной буквой L изображают, напр.,
произвольный оператор вида:
отношений" менее распространены, они находят применение лишь в математич.
логике (см. Алгебра логики) и в сравнительно абстрактных, по преимуществу
аксиоматических, математич. исследованиях.
history of mathematical notations, v. 1 - 2, Chi., 1928 - 29.