ИГР ТЕОРИЯ

ИГР ТЕОРИЯ раздел
математики, изучающий формальные модели принятия оптимальных решений в
условиях конфликта. При этом под конфликтом понимается явление, в к-ром
участвуют различные стороны, наделённые различными интересами и возможностями
выбирать доступные для них действия в соответствии с этими интересами.
Отд. матем. вопросы, касающиеся конфликтов, рассматривались (начиная с
17 в.) многими учёными. Систематич. же матем. теория игр была детально
разработана амер. учёными Дж. Нейманом и О. Морген-штерном (1944) как средство
матем. подхода к явлениям конкурентной экономики. В ходе своего развития
И. т. переросла эти рамки и превратилась в общую матем. теорию конфликтов.
В рамках И. т. в принципе поддаются матем. описанию военные и правовые
конфликты, спортивные состязания, "салонные"игры, а также явления, связанные
с биол. борьбой за существование.В условиях конфликта стремление противника
скрыть свои предстоящие действия порождает неопределённость. Наоборот,
неопределённость при принятии решений (напр., на основе недостаточных данных)
можно интерпретировать как конфликт принимающего решения субъекта с природой.
Поэтому И. т. рассматривается также как теория принятия оптимальных решений
в условиях неопределённости. Она позволяет математизировать нек-рые важные
аспекты принятия решений в технике, с. х-ве, медицине и социологии. Перспективен
подход с позиций И. т. к проблемам управления, планирования и прогнозирования.Основным
в И. т. является понятие игры, являющееся формализованным представлением
о конфликте. Точное описание конфликта в виде игры состоит поэтому в указании
того, кто и как участвует в конфликте, каковы возможные исходы конфликта,
а также кто и в какой форме заинтересован в этих исходах. Участвующие в
конфликте стороны наз. коалициями действия; доступные для них действия
- их стратегиями; возможные исходы конфликта - ситуациями(обычно каждая
ситуация понимается как результат выбора каждой из коалиций действия нек-рой
своей стратегии); стороны, заинтересованные в исходах конфликта,- коалициями
интересов; их интересы описываются предпочтениями тех или иных ситуаций
(эти предпочтения часто выражаются численными выигрышам и). Конкретизация
перечисленных объектов и связей между ними порождает разнообразные частные
классы игр.Если в игре имеется единственная коалиция действия, то стратегии
этой коалиции можно отождествить с ситуациями и далее больше уже о стратегиях
не упоминать. Такие игры наз. нестратегическими. Класс нестратегических
игр весьма обширен. К их числу относятся, в частности, кооперативные игры
(см. Кооперативная теория игр).Примером нестратегич. (кооперативной)
игры может служить простая и г-р а, состоящая в следующем. Множеством ситуаций
являются в ней всевозможные распределения (дележи) между игроками нек-рого
количества однородной полезности (напр., денег). Каждый делёж описывается
теми суммами, к-рые при этом получают отдельные игроки. Коалиция интересов
наз. выигрывающей, если она может даже в условиях противодействия со стороны
всех остальных игроков присвоить и разделить между своими членами всю имеющуюся
полезность. Все коалиции, не являющиеся выигрывающими, совсем не могут
присвоить к.-л. доли полезности. Такие коалиции наз. проигрывающи-м и.
Естественно считать, что выигрывающая коалиция предпочитает один делёж
другому, если доля каждого из её членов в условиях первого дележа больше,
чем в условиях второго. Проигрывающие же коалиции не могут сравнивать дележи
по предпочтительности (это условие также вполне естественно: коалиция интересов,
к-рая сама не в состоянии добиться ничего, вынуждена соглашаться на любой
делёж и лишена возможности выбора между дележами).Если в игре имеется более
одной коалиции действия, то игра наз. стратегической. Важный класс стра-тегич.
игр составляют бескоалиционные игры, в к-рых коалиции действия совпадают
с коалициями интересов (они наз. игрокам и), а предпочтения для игроков
описываются их функциями выигрыша: игрок предпочитает одну ситуацию другой,
если в первой ситуации он получает больший выигрыш, чем во второй.Одним
из простейших примеров бескоалиционной игры может служить "мор-pa" в следующем
своём варианте. Три игрока показывают одновременно 1 или 2 пальца каждый.
Если все три игрока показывают одно и то же число, то выигрыш каждого равен
нулю. В противном случае один из игроков показывает в ( = 1 или 2) и получает
Ь
из
нек-рого источника (напр., из банка, образованного предварительными взносами),
а два других игрока, показывающие одно и то же b ( а),
не
получают ничего.Если в бескоалиц. игре участвуют два игрока, а значения
их функций выигрыша в любой ситуации отличаются только знаками, то игра
наз. антагонистической игрой; в ней выигрыш одного из игроков в
точности равен проигрышудругого. Если в антагонистич. игре множества стратегий
обоих игроков конечны, то игра наз. матричной игрой ввиду нек-рой
специфической возможности её описания.В качестве другого примера бескоалиц.
игры можно привести шахматы. В этой игре участвуют два игрока (белые и
чёрные). Стратегия каждого из игроков есть мыслимое (хотя практически и
не поддающееся детальному описанию) правило выбора в каждой возможной позиции
нек-рого хода, допускаемого движениями фигур. Пара таких правил (за белых
и за чёрных) составляет ситуацию, к-рая полностью определяет протекание
шахматной партии и в т. ч. её исход. Функция выигрыша белых имеет значение
1 на выигрываемых партиях, 0 на ничейных и -1 на проигрываемых (такой способ
начисления очков практически ничем не отличается от принятого в турнирной
и матчевой практике). Функция выигрыша чёрных отличается от функции выигрыша
белых лишь знаком. Из сказанного видно, что шахматы относятся к числу антагонистических
и притом матричных игр. В шахматах стратегии не выбираются игроками до
начала игры, а реализуются постепенно, ход за ходом. Это значит, что шахматы
принадлежат к позиционным играм.

И. т. является
нормативной теорией, т. е. предметом её изучения являются не столько сами
модели конфликтов (игры), как таковые, сколько содержание принимаемых в
играх принципов оптимальности, существования ситуаций, на к-рых эти принципы
оптимальности реализуются (такие ситуации или множества ситуаций наз. решениями
в смысле соответствующего принципа оптимальности), и, наконец, способы
нахождения таких ситуаций.

Рассматриваемые
в И. т. объекты - игры - весьма разнообразны, и пока не удалось установить
принципов оптимальности, общих для всех классов игр. Практически это означает,
что единого для всех игр истолкования понятия оптимальности ещё не выработано.
Поэтому прежде чем говорить, напр., о наивыгоднейшем поведении игрока в
игре, необходимо установить, в каком смысле эта выгодность понимается.
Все применяемые в И. т. принципы оптимальности при всём их внешнем разнообразии
отражают прямо или косвенно идею устойчивости ситуаций или множеств ситуаций,
составляющих решения. В бескоалиц. играх основным принципом оптимальности
считается принцип осуществимости цели, приводящий к ситуациям равновесия.
Эти ситуации характеризуются тем свойством, что любой игрок, к-рый отклонится
от ситуации равновесия (при условии, что остальные игроки не изменят своих
стратегий), не увеличит этим своего выигрыша.

В частном случае
антагонистических игр принцип осуществимости цели превращается в т. н.
принцип м а к с и м и н а (отражающий стремление максимизировать минимальный
выигрыш).

Принципы оптимальности
(первоначально выбиравшиеся интуитивно) выводятся на основании нек-рых
заранее задаваемых их свойств, имеющих характер аксиом. Существенно, что
различные применяемые в И. т. принципы оптимальности могут противоречить
друг другу.

Теоремы существования
в И. т. доказываются преим. теми же неконструктивными средствами, что и
в др. разделах математики: при помощи теорем о неподвижной точке, о выделении
из бесконечной последовательности сходящейся подпоследовательности и т.
п., или же, в весьма узких случаях, путём интуитивного указания вида решения
и последующего нахождения решения в этом виде.

Фактическое
решение нек-рых классов антагонистич. игр сводится к решению дифференциальных
и интегральных уравнений, а матричных игр - к решению стандартной задачи
линейного
программирования. Разрабатываются приближённые и численные методы решения
игр. Для многих игр оптимальными оказываются т. н. смешанные стратегии,
т. е. стратегии, выбираемые случайно (напр., по жребию).

И. т., созданная
для матем. решения задач экономич. и социального происхождения, не может
в целом сводиться к классич. матем. теориям, созданным для решения физич.
и технич. задач. Однако в различных конкретных вопросах И. т. широко используются
весьма разнообразные классич. матем. методы. Кроме этого, И. т. связана
с рядом матем. дисциплин внутр. образом. В И. т. систематически и по существу
употребляются понятия теории вероятностей. На языке И. т. можно сформулировать
большинство задач матем. статистики. Необходимость при анализе игры количеств,
учёта неопределённости предопределяет важность и тем самым связь И. т.
с теорией информации и через её посредство - с кибернетикой. Кроме того,
И. т., будучи теорией принятия решений, может рассматриваться как существ,
составная часть матем. аппарата операций исследования.

И. т. применяется
в экономике, технике, военном деле и даже в антропологии. Осн. трудности
практич. применения И. т. связаны с экономической и социальной природой
моделируемых ею явлений и недостаточным умением составлять такие модели
на количественном уровне.

К 70-м гг.
20 в. число публикаций по науч. вопросам И. т. достигло многих сотен (в
т. ч. неск. десятков монографий). Курсы по И. т. читаются во мн. высших
уч. заведениях для студентов матем. и экономич. специальностей (в СССР
- с 1956).

Международные
конференции по И. т. проходили в Принстоне (1961), Иерусалиме (1965), Вене
(1967) и Беркли (1970). Всесоюзные конференции по И. т. состоялись в Ереване
(1968) и Вильнюсе (1971).

Лит.: Неиман
Д ж., Моргенштерн О., Теория игр и экономическое поведение, пер. с англ.,
М., 1970; Лью с Р., Рай-фа X., Игры и решения, пер. с англ., М., 1961;
Карлин С., Математические методы в теории игр, программировании и экономике,
пер. с англ., М., 1964; Воробьев Н. Н., Современное состояние теории игр,
"Успехи математических наук", 1970, т. 25, М° 2(152), с. 80-140; Оуэн Г.,
Теория игр, пер. с англ., М., 1971; Contributions to the theory of games,
v. 1-4, Princeton, 1950-59; Advances in game theory, Princeton, 1964.

Н. Н. Воробьёв.

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я