ИЗМЕНЕНИЕ ФУНКЦИИ
вариация функции, одна из важнейших характеристик функции
действительного переменного. Пусть функция f(x) задана на нек-ром
отрезке [а,b];
её
изменением, или полным изменением, на этом отрезке наз. верхняя грань сумм
распространённая
на всевозможные разбиения
отрезка [а,b]
на
конечное число частей. Геометрически изменение непрерывной функции
f(x)
представляет собой длину проекции кривой у = f(x) на ось ординат,
считая кратность покрытия (теорема Банаха). И. ф. f(x)
на отрезке
[а,b] принято обозначать символом
Если функция
f(x)
имеет непрерывную производную, то
Свойства И.
ф.: 1) если а<b<с, то
Существуют 
непрерывные
функции, изменение к-рых бесконечно; напр.,
функция у
=
xsin - на отрезке [-1, + 1].
Если И. ф.
конечно, то такая функция наз. функцией с ограниченным изменением (функцией
с конечным изменением, или функцией ограниченной вариации). Функции с ограниченным
изменением были определены и впервые изучались К. Жорданом (1881).
Многие важные функции принадлежат к числу функций с ограниченным изменением,
напр, монотонные функции, заданные на отрезке, функции с конечным
числом максимумов и минимумов, функции, удовлетворяющие Липшица условию.
Всякая
функция с ограниченным изменением на отрезке [а,b] имеет не более
чем счётное множество разрыва точек, и притом первого рода, интегрируема
по Риману и есть разность двух неубывающих функций (К. Жор-дан). Предел
сходящейся последовательности функций с равностепенно ограниченными изменениями
есть функция с ограниченным изменением. Функции с ограниченным изменением
имеют почти всюду конечную производную, к-рая интегрируема по Лебегу (теорема
А. Лебега).
Функции с ограниченным
изменением имеют приложения в теории интеграла Стилтьеса, в теории тригонометрич.
рядов, в геометрии.
Лит.: Александров
П. С. и Колмогоров А. Н., Введение в теорию Функций действительного переменного,
3 изд., М.-Л., 1938; Камке Э., Интеграл Лебега - Стилтьеса, пер. с нем.,
М., 1959; Лузин Н. Н., Интеграл и тригонометрический ряд, М.- Л., 1951;
Лебег А., Интегрирование и отыскание примитивных Функций, пер. с франц.,
М.-Л., 1934; Рудин У., Основы математического анализа, пер. с англ., М.,
1966. С. Б. Стечкин.
А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я