ИЗОМОРФИЗМ

ИЗОМОРФИЗМ одно
из основных понятий совр. математики, возникшее сначала в пределах алгебры
в применении к таким алгебраич. образованиям, как группы, кольца, поля
и т. п., но оказавшееся весьма существенным для общего понимания строения
и области возможных применений каждого раздела математики.

Понятие И.
относится к системам объектов с заданными в них операциями или отношениями.
В качестве простого примера двух изоморфных систем можно рассмотреть систему
R всех действительных чисел с заданной на ней операцией сложения x=xхна ней операцией умножения у = учто внутр. "устройство" этих двух систем чисел совершенно одинаково. Для
этого достаточно систему R отобразить в систему P,< поставив в соответствие
числу х из R число y = a^x (a>l) из P. Тогда сумме x=xбудет соответствовать произведение у=уxи уxи xИз любого предложения, относящегося к сложению чисел системы R, можно извлечь
соответствующее ему предложение, относящееся к умножению чисел системы
P. Напр., если в R сумма членов
арифметич. прогрессии выражается формулой

то в P произведение

членов геометрич.
прогрессии выражается формулой

(умножению
на и в системе R соответствует при переходе к системе P возведение в п-то
степень, а делению на два - извлечение квадратного корня).

Изучение свойств
одной из изоморфных систем в значит, мере (а с абстрактно-математич. точки
зрения - полностью) сводится к изучению свойств другой. Любую систему объектов
S', изоморфную системе S,< можно рассматривать как "модель" системы
S ("моделировать систему S при помощи системы S'") и сводить изучение самых
разнообразных свойств системы S к изучению свойств "модели" S'.

Общее определение
И. систем объектов с заданными на них в конечном числе отношениями между
постоянным для каждого отношения числом объектов таково. Пусть даны две
системы объектов S и S',< причём в первой определены отношения

а во
второй - отношения Системы S и S' с указанными в них отношениями наз. изоморфными,
если их можно поставить в такое взаимно однозначное соответствие
(где х - произвольный элемент S, а х'- произвольный элемент S'), что из
наличия F(x'наз. при этом изоморфным отображением, или изоморфизмом. [В приведённом
выше примере в системе R определено отношение F(x,xгде x=xгде у=упо формулам у=а^x, x=log

Понятие И.
возникло в теории групп, где впервые был понят тот факт, что изучение внутр.
структуры двух изоморфных систем объектов представляет собой одну и ту
же задачу.

Аксиомы любой
математич. теории определяют систему объектов, изучаемую этой теорией,
всегда только с точностью до И.: аксиоматически построенная математич.
теория, применимая к к.-л. одной системе объектов, всегда полностью применима
и к другой. Поэтому каждая аксиоматически изложенная математич. теория
допускает не одну, а много "интерпретаций", или "моделей" (см., напр.,
в ст. Геометрия, раздел Истолкование геометрии).

Понятие И.
включает в себя как частный случай понятие гомеоморфизма, игоающее осн.
роль в топологии.

Частным случаем
И. является автоморфизм - взаимно однозначное отображение
системы объектов с заданными отношениями Fна самоё себя, при к-ром из Fвытекает FЭто понятие тоже возникло в теории групп, но потом оказалось существенным
в самых различных разделах математики.

Лит.: Курош
А. Г., Курс высшей алгебры, 3 изд., M,- Л.. 1952: Энциклопедия элементарной
математики, под ред. П. С. Александрова [и др.], кн. 2, М.- Л.,

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я