ИЗОПЕРИМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
(от изо... и периметр), класс задач вариационного исчисления.
Простейшие И. з. (нахождение треугольников и многоугольников заданного
периметра, имеющих наибольшую площадь; нахождение замкнутой кривой заданной
длины, ограничивающей макс, площадь; определение замкнутой поверхности
заданной площади, ограничивающей наибольший объём, и т. п.) были известны
др.-греч. учёным (Архимед, Зенодор и др.). Общее изучение И. з. началось
в 1697, когда Я. Бернулли опубликовал поставленную и частично решённую
им И. з.: среди всех кривых данной длины найти кривую, для к-рой нек-рая
величина, зависящая от кривой, достигает минимума или максимума. Систематич.
исследование И. з. было впервые проведено в 1732 Л. Эйлером. Пример И.
з.: среди кривых данной длины l, проходящих через точки А ив, найти кривую,для
к-рой площадь криволинейной трапеции (заштрихована на рис.) была бы наибольшей.
Площадь криволинейной трапеции равна
длина дуги
Следовательно,
задача сводится к нахождению наибольшего значения интеграла (1) при наличии
условий (2). Оказывается, что искомая кривая - дуга окружности.
Лит.: Лаврентьев
M. А., Люстерник Л. A, Курс вариационного исчисления, 2 изд., М.- Л., 1950.
А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я