ИНВАРИАНТЫ
(от
Все выражения,
х' коэффициенты
но выражение Понятие И.
Весьма плодотворный
Понятие И.
В 20 в. глубокое
Лит.: Погорелое
А
Б
В
Г
Д
Е
Ё
Ж
З
И
Й
К
Л
М
Н
О
П
Р
С
Т
У
Ф
Х
Ц
Ч
Ш
Щ
Ъ
Ы
Ь
Э
Ю
Я
лат. invarians, род. падеж invariantis - неизменяющийся), числа, алгебраич.
выражения и т. п., связанные с к.-л. математич. объектом и остающиеся неизменными
при определённых преобразованиях этого объекта или системы отсчёта, в к-рой
описывается объект. Чтобы охарактеризовать к.-л. геометрия, фигуру и её
положение с помощью чисел, обычно приходится вводить нек-рую вспомогат.
систему отсчёта или систему координат. Полученные в такой системе числа
x
изменении этой системы фигуре будут отвечать другие числа x
выражения
f(x
выполняться соотношение
удовлетворяющие соотношению (1), наз. инвариантами. Напр., положение отрезка
M
осей) точки M
+ (y'1 - y'2)2. Поэтому выражение (x
+ (y
координат. Геометрич. смысл этого И. ясен: это квадрат длины отрезка M
2-й степени
к-рого можно рассматривать как числа, определяющие кривую. При преобразовании
прямоугольных координат эти коэффициенты изменяются,
сохраняет своё значение и, следовательно, служит И. кривой (2). При рассмотрении
кривых и поверхностей высших порядков возникает аналогичная более общая
задача.
употреблялось ещё нем. математиком О. Гессе (1844), но систе-матич. развитие
теория И. получила у англ, математика Дж. Сильвестра (1851-52), предложившего
и термин "И.". В течение 2-й пол. 19 в. теория И. была одной из наиболее
разрабатываемых математич. теорий. В процессе развития этой классич. теории
И. главные усилия исследователей стали постепенно сосредоточиваться вокруг
решения нескольких "основных" проблем, наиболее известная из к-рых формулировалась
след, образом. Рассматриваются И. системы форм, являющиеся целыми рациональными
функциями от коэффициентов этих форм. Требуется доказать, что для И. каждой
конечной системы форм существует конечный базис, т. е. конечная система
целых рациональных И., через к-рые каждый другой целый рациональный И.
выражается в виде целой рациональной функции. Это доказательство для проективных
И. было дано в кон. 19 в. нем. математиком Д. Гильбертом.
подход к понятию И. получается, если системы чисел 
рассматривать не как координаты одной и той же точки относительно различных
координатных систем, а как координаты различных точек в одной и той же
системе координат, полученных одна из другой движением. Движения пространства
образуют группу. И. относительно изменений систем координат являются также
И. относительно группы движений. Отсюда путём непосредственного обобщения
получается понятие И. любой группы преобразований. Теория таких И. оказывается
весьма тесно связанной с теорией групп и в особенности с теорией представлений
групп.
группы преобразований лежит в основе известной систематизации геометрич.
дисциплин по группам преобразований, И. к-рых изучаются в этих дисциплинах.
Напр., И. группы ортогональных преобразований изучаются в обычной евклидовой
геометрии, И. аффинных преобразований - в аффинной, И. проективных - в
проективной. Весьма общую группу преобразований составляют все взаимно
однозначные и непре-рывные преобразования. Изучение И. этих т. н. топологич.
преобразований составляет предмет топологии. В дифференциальной геометрии
осн. значение имеют дифференциальные И., развитие теории к-рых привело
к созданию тензорного исчисления.
влияние на развитие теории И., в частности на развитие тензорного исчисления,
оказала теория относительности, в к-рой инвариантность физ. законов относительно
группы движений становится одним из руководящих принципов. См. также Инвариантность.
А. В., Аналитическая геометрия, 3 изд., M., 1968; Широков П. А., Тензорный
анализ, ч. 1, M.- Л., 1934; Гуревич Г. Б., Основы теории алгебраических
инвариантов, М.- Л., 1948; Вейль Г., Классические группы, их инварианты
и представления, пер. с англ., M., 1947.