ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
раздел математики, в к-ром изучаются свойства и способы
или, применяя
Указанное выражение
Отвлекаясь
Символ кроме того,
Свойства определённого
(k - постоянная).
(численное
К вычислению
объём тела,
поверхность
Фактическое
Понятие определённого
Выражения вида
где функция
самое, dF(x)=
Определённый
("интеграл
выражающую
Взаимно обратный
Отсюда Трудность И.
К классу функций,
где P(x) и
от Понятие интеграла
О расширении
В итоге этих
При этом в
Лит.: История.
Под редакцией
А
Б
В
Г
Д
Е
Ё
Ж
З
И
Й
К
Л
М
Н
О
П
Р
С
Т
У
Ф
Х
Ц
Ч
Ш
Щ
Ъ
Ы
Ь
Э
Ю
Я
вычисления интегралов и их приложения. И. и. тесно связано с дифференциальным
исчислением и составляет вместе с ним одну из основных частей матем. анализа
(или анализа бесконечно малых). Центральными понятиями И. и. являются понятия
определённого интеграла и неопределённого интеграла функций одного действительного
переменного.
Определённый
интеграл. Пусть требуется вычислить площадь S "криволинейной трапеции"
- фигуры ABCD (см. рис. на стр. 304), ограниченной дугой непрерывной линии,
уравнение к-рой у = f(x), отрезком AB оси абсцисс и двумя ординатами AD
и ВС. Для вычисления площади S этой криволинейной трапеции основание AB
(отрезок [а,b]) разбивают на n участков (необязательно равных) точками 
, обозначая длины этих участков 
<, 
; на каждом таком участке строят прямоугольники с высотами 
, 
, где 
- нек-рая точка
из отрезка [x
-
его высота). Сумма S
для сокращения записи символ суммы 
(греч.
буква "сигма"):
для площади криволинейной трапеции тем точнее, чем меньше длины дельта
x
от геометрич. содержания рассмотренной задачи, приходят к понятию определённого
интеграла от функции f(x), непрерывной на отрезке [а,6], как к пределу
интегральных сумм S
(удлинённое S - первая буква слова Summa) наз. знаком интеграла, f (х)
- подинтегральной функцией, числа а и b наз. нижним и верхним пределами
определённого интеграла. Если а = Ь, то, по определению, полагают
интеграла:
Очевидно также, что
значение определённого интеграла не зависит от выбора обозначения переменной
интегрирования).
определённых интегралов сводятся задачи об измерении площадей, ограниченных
кривыми (задачи "нахождения квадратур"), длин дуг кривых ("спрямление кривых"),
площадей поверхностей тел, объёмов тел ("нахождение кубатур"), а также
задачи определения координат центров тяжести, моментов инерции, пути тела
по известной скорости движения, работы, производимой силой,< и многие
другие задачи естествознания и техники. Напр., длина дуги плоской кривой,
заданной уравнением у = f(x) на отрезке [а,b], выражается интегралом
образованного вращением этой дуги вокруг оси Ox,- интегралом
этого тела - интегралом
вычисление определённых интегралов осуществляется различными способами.
В отдельных случаях определённый интеграл можно найти, непосредственно
вычисляя предел соответствующей интегральной суммы. Однако большей частью
такой переход к пределу затруднителен. Нек-рые определённые интегралы удаётся
вычислять с помощью предварительного отыскания неопределённых интегралов
(см. ниже). Как правило же, приходится прибегать к приближённому вычислению
определённых интегралов, применяя различные квадратурные формулы (напр.,
трапеций формулу, Симпсона формулу). Такое приближённое вычисление может
быть осуществлено на ЭВМ с абсолютной погрешностью, не превышающей .любого
заданного малого положительного числа. В случаях, не требующих большой
точности, для приближённого вычисления определённых интегралов применяют
графич. методы (см. Графические вычисления).
интеграла распространяется на случай неограниченного промежутка интегрирования,
а также на нек-рые классы неограниченных функций. Такие обобщения наз.
несобственными интегралами.
f(x,а) непрерывна по х, наз. интегралами, зависящими от параметра. Они
служат основным средством изучения многих специальных функций (см., напр.,
Гамма-функция).
Неопределённый
интеграл. Нахождение неопределённых интегралов, или интегрирование,
есть операция, обратная дифференцированию. При дифференцировании данной
функции ищется её производная. При интегрировании, наоборот, ищется первообразная
(или примитивная) функция - такая функция, производная к-рой равна данной
функции. T. о., функция F(x) является первообразной для данной функции
f(x), если F'(x)= f(x) или, что то же
f(x) dx. Данная функция f(x) может иметь различные первообразные, но все
они отличаются друг от друга только постоянными слагаемыми. Поэтому все
первообразные для f(x) содержатся в выражении F(X) + С, к-рое называют
неопределённым интегралом от функции f(x) и записывают
интеграл как функция верхнего предела интегрирования
с переменным верхним пределом"), есть одна из первообразных под-интегральной
функции. Это позволяет установить основную формулу И. и. (формулу Ньютона
- Лейбница):
численное значение определённого интеграла в виде разности значений к.-л.
первообразной подинтегральной функции при верхнем и нижнем пределах интегрирования.
характер операций интегрирования и дифференцирования выражается равенствами
следует возможность получения из формул и правил дифференцирования соответствующих
формул и правил интегрирования (см. табл.,< где С, т, a, k- постоянные
и 
<, а>0).
и. по сравнению с дифференциальным исчислением заключается в том, что интегралы
от элементарных функций не всегда выражаются через элементарные, могут
не выражаться, как говорят, "в конечном виде". И. и. располагает лишь отдельными
приёмами интегрирования в конечном виде, область применения каждого из
к-рых ограничена (способы интегрирования излагаются в учебниках матем.
анализа: обширные таблицы интегралов приводятся во многих справочниках).
интегралы от к-рых всегда выражаются в элементарных функциях, принадлежит
множество всех рациональных функций
Q(X) - многочлены. Многие функции, не являющиеся рациональными, также интегрируются
в конечном виде, напр, функции, рационально зависящие
Таблица
основных интегралов и правил интегрирования
их или же от х и рациональных степеней дроби
.
В конечном виде интегрируются и многие трансцендентные функции, напр, рациональные
функции синуса и косинуса. Функции, к-рые изображаются неопределёнными
интегралами, не берущимися в конечном виде, представляют собой новые трансцендентные
функции. Многие из них хорошо изучены (см., напр., Интегральный логарифм,
Интегральный синус и интегральный косинус, Интегральная показательная функция).
распространяется на функции многих действительных переменных (см. Кратный
интеграл, Криволинейный интеграл, Поверхностный интеграл), а также на функции
комплексного переменного (см. Аналитические функции)к вектор-функции (см.
Векторное исчисление).
и обобщении понятия интеграла см. ст. Интеграл, Историческая справка. Возникновение
задач И. и. связано с нахождением площадей и объёмов. Ряд задач такого
рода был решён математиками Др. Греции. Античная математика предвосхитила
идеи И. и. в значительно большей степени, чем дифференциального исчисления.
Большую роль при решении таких задач играл исчерпывающий метод, созданный
Евдоксом Книдским и широко применявшийся Архимедом. Однако Архимед не выделил
общего содержания интеграционных приёмов и понятия об интеграле, а тем
более не создал алгоритма И. и. Учёные Cp. и Бл. Востока в 9-15 вв. изучали
и переводили труды Архимеда на общедоступный в их среде арабский язык,
но существенно новых результатов в И. и. они не получили. Деятельность
европейских учёных в это время была ещё более скромной. Лишь в 16 и 17
вв. развитие естественных наук поставило перед математикой Европы ряд новых
задач, в частности задачи на нахождения квадратур, кубатур и определение
центров тяжести. Труды Архимеда, впервые изданные в 1544 (на лат. и греч.
яз.), стали привлекать широкое внимание, и их изучение явилось одним из
важнейших отправных пунктов дальнейшего развития И. и. Античный "неделимых"
метод был возрождён И. Кеплером. В более общей форме идеи этого метода
были развиты Б. Кавальери, Э. Торричелли, Дж. Вал-лисом, Б. Паскалем. Методом
"неделимых" был решён ряд геом. и механич. задач. К этому же времени относятся
опубликованные позднее работы П. Ферма по квадрированию парабол я-й степени,
а затем - работы X. Гюйгенса по спрямлению кривых.
исследований выявилась общность приёмов интегрирования при решении внешне
несходных задач геометрии и механики, приводившихся к квадратурам как к
геом. эквиваленту определённого интеграла. Заключительным звеном в цепи
открытий этого периода было установление взаимно обратной связи между задачами
на проведение касательной и на квадратуры, т. е. между дифференцированием
и интегрированием. Основные понятия и алгоритм И. и. были созданы независимо
друг от друга И. Ньютоном и Г. Лейбницем. Последнему принадлежит термин
"интегральное исчисление" и обозначение интеграла
работах Ньютона осн. роль играло понятие неопределённого интеграла (флюенты,
см. Флюксий исчисление), тогда как Лейбниц исходил из понятия определённого
интеграла. Дальнейшее развитие И. и. в 18 в. связано с именами И. Бернулли
и особенно Л. Эйлера. В нач. 19 в. И. и. вместе с дифференциальным исчислением
было перестроено О. Коши на основе теории пределов. В развитии И. и. в
19 в. приняли участие русские математики M. В. Остроградский, В. Я. Буняковский,
П. Л. Чебышев. В кон. 19 - нач. 20 вв. развитие теории множеств и теории
функций действительного переменного привело к углублению и обобщению осн.
понятий И. и. (Б. Pu-ман, А. Лебег и др.).
Ван дер Варден Б. Л., Пробуждающаяся наука, пер. с голл., M., 1959; Вилейтнер
Г., История математики от Декарта до середины 19 столетия, пер. с нем.,
2 изд., M., 1966; Строй к Д. Я., Краткий очерк истории математики, пер.
с нем.,2 изд., M., 1969; Cantor M., Уог-lesungen uber Geschichte der Mathematik,
2 Aufl., Bd 3-4, Lpz.-В.. 1901-24.
Работы основоположников
и классиков И. и. НьютонИ., Математические работы, пер. с латин., М.-Л.,
1937; Лейбниц Г., Избранные отрывки из математических сочинений, пер. с
латин., "Успехи математических наук", 1948, т. 3, в. 1; Эйлер Л., Интегральное
исчисление, пер. с латин., тт. 1 - 3, M., 1956-58; Коши О. Л., Краткое
изложение уроков о дифференциальном и интегральном исчислении, пер. с франц.,
СПБ, 1831; его же, Алгебраический анализ, пер. с франц., Лейпциг, 1864.
Учебники
и учебные пособия по И. и. Хинчин А. Я., Краткий курс математического
анализа, 3 изд., 1957; Смирнов В. И., Курс высшей математики, 22 изд.,
т. 1, M., 1967; Фихтенгольц Г. M., Курс дифференциального и интегрального
исчисления, 7 изд., т. 2, M., 1969; Ильин В., Позняк Э. Г., Основы математического
анализа, 3 изд., ч. 1, M., 1971; Курант Р., Курс дифференциального и интегрального
исчисления, пер. с нем. и англ., 4 изд., т. 1, M., 1967; Двайт Г. Б., Таблицы
интегралов и другие математические формулы, пер. с англ., M., 1964.
академика A. H. Колмогорова.