ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ уравнения, содержащие неизвестные функции под знаком интеграла.
Многочисл. задачи физики и матем. физики приводят к И. у. различных типов.
Пусть, напр., требуется с помощью нек-рого оптич. прибора получить изображение
линейного объекта А, занимающего отрезок
оси Ox, причём освещённость объекта характеризуется плотностью u(х). Изображение
В представляет собой нек-рый отрезок другой оси xпутём подходящего выбора начала отсчёта и единицы длины также можно совместить
с отрезком Если дифференциально
малый участок объекта
А вызывает освещённость изображения В с плотностью K(xгде функция K(xполная освещённость изображения будет иметь плотность

В зависимости
от того, хотят ли добиться заданной освещённости U(xили "точного" фотографического изображения [v(x) = ku(x), где постоянная
k заранее не фиксируется], или, наконец, определённой разницы освещённости
А в В [M(X) - с(х) = f(x)], приходят

к различным
И. у. относительно функции "(х):

Вообще,
линейным
интегральным уравнением 1-го рода наз. уравнение вида

линейным интегральным
уравнением 2-го рода, или уравнением Фредгольма,-уравнение вида

[при f(x) =
0 оно наз. однородным уравнением Фредгольма]; обычно рассматриваются уравнения
Фредгольма с параметром :

Во всех уравнениях
функция

- т. н. ядро
И. у. -известна, так же, как функция
; искомой является функция

Функции
и параметр уравнения могут
принимать как действительные, так и комплексные значения. В частном случае,
когда ядро .К(х,y) обращается в нуль при у>х, получается уравнение Вольтерра:

И. у. наз.
особым, если хотя бы один из пределов интегрирования бесконечен или ядроК(х,у)
обращается в бесконечность в одной или неск. точках квадрата
или на нек-рой линии. И. у. может относиться и к функциям нескольких переменных:
таково, напр., уравнение

Рассматриваются
также нелинейные И. у., напр, уравнения вида

или

Линейные И.
у. 2-го рода решаются следующими методами: 1) решение u(х) получается в
виде ряда по степеням (сходящегося
в нек-ром круге )
с коэффициентами, зависящими от х (метод Вольтерра - Неймана); 2) решение
u(х), при тех значениях <,
при
к-рых оно вообще существует, выражается через нек-рые целые функции от
(метод Фредгольма); 3) в случае, когда ядро симметрично, т.е.,
решение м(х) выражается в виде ряда по ортогональным функциям uявляющимся

ненулевыми
решениями соответствующего однородного уравнения

(последнее
имеет отличные от нуля решения лишь при нек-рых специальных значениях параметра
, k = 1,2,...)< (метод Гильберта - Шмидта); 4) в некоторых частных
случаях решение сравнительно просто получается с помощью Лапласа преобразования;
5) в случае, когда

(т. н. вырожденное
ядро), отыскание u(х) сводится к решению системы алгеораич. уравнений.
Приближённые решения можно получить, либо

применив к
к.-л. формулу

численного
интегрирования, либо заменив данное ядро К(х,у) нек-рым вырожденным ядром,
мало отличающимся от К (x,y). К И. у. часто сводятся краевые задачи для
дифференциальных уравнений, обыкновенных и с частными производными; такое
сведение имеет и теоретическую и практическую ценность.

Лит.: Смирнов
В. И., Курс высшей математики, 3 изд., т.4, M., 1957; Петровский И. Г.,
Лекции по теории интегральных уравнений, 3 изд., M., 1965; Канторович Л.
В. и Крылов В. И., Приближённые методы высшего анализа, 5 изд., Л.- M.,
1962. Д. А. Васильков.

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я