ИСЧИСЛЕНИЕ
основанный на чётко сформулированных правилах формальный аппарат оперирования
со знаками определённого вида, позволяющий дать исчерпывающе точное описание
нек-рого класса задач, а для нек-рых подклассов этого класса (лишь для
наиболее простых И., совпадающих с ним) - и алгоритмы решения. Примерами
И. могут служить совокупность арифметич. правил оперирования с цифрами
(т. е. числовыми знаками), "буквенное" И. элементарной алгебры, дифференциальное
И., интегральное И., вариационное И. и др. ветви матем. анализа и теории
функций. Несмотря на раннее происхождение, термин "И." употреблялся в математике
до недавнего времени без строгого общего определения. С развитием матем.
логики возникла потребность в общей теории И. и в уточнении самого понятия
"И.", к-рое подверглось более последовательной формализации. В большинстве
случаев, однако, оказывается достаточным следующее (идущее от Д. Гильберта)
представление об И. Рассматривается нек-рый (вообще говоря, бесконечный,
хотя и, быть может, задаваемый посредством конечного числа символов) алфавит,
из элементов к-рого, именуемых буквами, с помощью чётко сформулированных
правил образования строятся формулы рассматриваемого И. (наз. также иногда
словами, или выражениями). Нек-рые из таких ("правильно построенных") формул
объявляются аксиомами, а из них с помощью правил преобразования (или, иначе,
правил выво-д а) "выводятся" новые формулы, наз. теоремами данного И. Иногда
термин "И." относят лишь к "словарной" ("выразительной") части описанного
построения, говоря, что присоединение к ней "дедуктивной" части (т. е.
добавление к алфавиту и правилам образования аксиом и правил вывода) даёт
формальную систему. Впрочем, эти термины часто считают и синонимичными
(и в качестве синонимов пользуются также терминами "логистическая система",
"формализм", "формальная теория" и мн. др.). Если такое неинтерпретированное
("бессмысленное") И. сопоставить с нек-рой интерпретацией (или,
как говорят, дополнить чисто синтаксические рассмотрения нек-рой семантикой;
см. Логическая семантика), то получают формализованный язык.
Представление содержательных логич. (и ло-гико-математич.) теорий в
виде формализованных языков есть характерная особенность матем. логики
(см. также Доказательство).
Лит.: Клини
С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957, § 14- 20; Марков
А. А., Теория алгорифмов, М. -Л., 1954 (Тр. Математического ин-та им. В.
А. Стеклова, т. 42); Карри X. Б., Основания математической логики, пер.
с англ., М., 1969, гл. 2; Математическая теория логического вывода, Сборник
переводов, под ред. А. В. Идельсона, Г. Е. Минца, М., 1967; Логические
и логико-математические исчисления, 1, Сб. работ, под ред. В. П. Оревкова,
Л., 1968. Ю. А. Гастев.
А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я