КАНТОРА МНОЖЕСТВО

КАНТОРА МНОЖЕСТВО совершенное множество точек на прямой (см.
Замкнутые
множества), не содержащее ни одного отрезка; построено Г. Кантором
(1883).
Конструируется след. образом (см. рис.): на отрезке [О, 1] удаляется интервал
('/з, ²/з), составляющий его среднюю треть; далее из каждого
оставшегося отрезка [О, 1/3] и [2/3,
1] также удаляется интервал,
составляющий его среднюю треть; этот процесс удаления интервалов продолжается
неограниченно; множество точек отрезка [0, 1], оставшееся после удаления
всех этих интервалов, и наз. К. м., или канторовым множеством. Удалённые
интервалы наз. смежными интервалами. К. м. имеет мощность континуума.
К.
м. (на числовой прямой) можно определить арифметически как множество тех
чисел, к-рые записываются

с помощью троичных дробей вида О, a аагде каждая из цифр a,...,
аравна
О или 2. К. м. играет важную роль в различных вопросах математики (в топологии,
теории функций действительного переменного).