КАРТОГРАФИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ

КАРТОГРАФИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ отображения всей поверхности земного
эллипсоида или к.-л. её части на плоскость, получаемые в основном с
целью построения карты.

Масштаб. К. п. строятся в определённом масштабе. Уменьшая мысленно
земной эллипсоид в M раз, напр, в 10 000 000 раз, получают его геом.
модель - глобус, изображение к-рого уже в натуральную величину на
плоскости даёт карту поверхности этого эллипсоида. Величина 1 : M (в
примере 1 : 10 000 000) определяет главный, или общий, масштаб карты. T.
к. поверхности эллипсоида и шара не могут быть развёрнуты на плоскость
без разрывов и складок (они не принадлежат к классу развёртывающихся
поверхностей), любой К. п. присущи искажения длин линий, углов и т.
п., свойственные всякой карте. Осн. характеристикой К. п. в любой её точке
является частный масштаб. Это - величина,
обратная отношению бесконечно малого отрезка ds на земном эллипсоиде
к его изображению da на плоскости: 1/
=ds/d, причём
зависит от положения точки на эллипсоиде и от направления выбранного отрезка.
Ясно, что<=и равенство здесь возможно лишь в отдельных точках или вдоль нек-рых линий
на карте. T. о., главный масштаб карты характеризует её только в общих
чертах, в нек-ром осреднением виде. Отношение/М
наз. относительным масштабом, или увеличением длины, разность (/M
- 1) - искажением длины.

При анализе свойств К. п. можно не принимать во внимание главный масштаб;
численное значение его учитывается только при вычислениях координат точек
К. п. Поэтому часто, напр, в теории искажений, считают M = 1.

Общие сведения. Теория К. п.- математическая картография -
имеет
своей целью изучение всех видов искажений отображений поверхности земного
эллипсоида на плоскость и разработку методов построения таких проекций,
в к-рых искажения имели бы или наименьшие (в к.-л. смысле) значения или
заранее заданное распределение.

Исходя из нужд картографии, в теории К. п. рассматривают отображения
поверхности земного эллипсоида на плоскость. T. к. земной эллипсоид имеет
малое сжатие, и его поверхность незначительно отступает от сферы, а также
в связи с тем, что К. п. необходимы для составления карт в средних и мелких
масштабах (M > 1 000 000), то часто ограничиваются рассмотрением отображений
на плоскость сферы нек-рого радиуса R, отклонениями к-рой от эллипсоида
можно пренебречь или к.-л. способом учесть. Поэтому далее имеются в виду
отображения на плоскость хОу сферы, отнесённой к геогр.. координатам
(широта) и (долгота).

Уравнения любой К. п. имеют вид x = f,),y=f,)
, (1) где fфункции, удовлетворяющие
нек-рым общим условиям. Изображения меридианов=const
и параллелей = const в данной
К. п. образуют картографическую сетку. К. п. может быть определена также
двумя уравнениями, в к-рых фигурируют не прямоугольные координаты х,у
плоскости,
а к.-л. иные. Нек-рые К. п. [напр., перспективные проекции
(в частности,
ортографиче-ские, рис. 2) перспективно-цилиндрические (рис. 7) и др.] можно
определить геом. построениями. К. п. определяют также правилом построения
соответствующей ей картографич. сетки или такими её характеристич. свойствами,
из к-рых могут быть получены уравнения вида (1), полностью определяющие
проекцию.

Краткие исторические сведения. Развитие теории К. п., как и всей
картографии, тесно связано с развитием геодезии, астрономии, географии,
математики. Науч. основы картографии были заложены в Др. Греции (6-1 вв.
до н. э.). Древнейшей К. п. считается гно-моническая проекция, применённая
Фа-лесом Милетским к построению карт звёздного неба. После установления
в 3 в. до н. э. шарообразности Земли К. п. стали изобретаться и использоваться
при составлении геогр. карт (Гиппарх, Птолемей и др.). Значит, подъём
картографии в 16 в., вызванный Великими геогр. открытиями, привёл к созданию
ряда новых проекций; одна из них, предложенная Г. Меркатором, используется
и в настоящее время (см. Меркатора проекция). В 17-18 вв., когда
широкая организация топографич. съёмок стала поставлять достоверный материал
для составления карт на значит, территории, К. п. разрабатывались как основа
для топографич. карт (франц. картограф P. Бонн, Дж. Д. Кассини), а
также выполнялись исследования отдельных наиболее важных групп К. п. (И.
Ламберт,
Л.
Эйлер, Ж. Лагранж и др.). Развитие воен. картографии и дальнейшее
увеличение объёма топографич. работ в 19 в. потребовали обеспечения матем.
основы крупномасштабных карт и введения системы прямоугольных координат
на базе, более подходящей К. п. Это привело К. Гаусса к разработке
фундаментальной геодезической проекции. Наконец, в сер. 19 в. А.
Тиссо (Франция) дал общую теорию искажений К. л. Развитие теории К. п.
в России было тесно связано с запросами практики и дало много оригинальных
результатов (Л. Эйлер, Ф. И. Шуберт, П. Л. Чебышев, Д. А.
Граве
и
др.). В трудах сов. картографов В. В. Кав-райского, H. А.
Урмаева
и др. разработаны новые группы К. п., отдельные их варианты (до стадии
практич. использования), важные вопросы общей теории К. п., классификации
их и др.

Теория искажений. Искажения в бесконечно малой области около
к.-л. точки проекции подчиняются нек-рым общим законам. Во всякой точке
карты в проекции, не являющейся равноугольной (см. ниже), существуют два
таких взаимно перпендикулярных направления, к-рым на отображаемой поверхности
соответствуют также взаимно перпендикулярные направления, это -т. н. главные
направления отображения. Масштабы по этим направлениям (главные масштабы)
имеют экстремальные значения:а
иb. Если в к.-л. проекции меридианы и параллели на карте пересекаются
под прямым углом, то их направления и есть главные для данной проекции.
Искажение длины в данной точке проекции наглядно представляет эллипс искажений,
подобный и подобно расположенный изображению бесконечно малой окружности,
описанной вокруг соответствующей точки отображаемой поверхности. Полудиаметры
этого эллипса численно равны частным масштабам в данной точке в соответствующих
направлениях, полуоси эллипса равны экстремальным масштабам, а направления
их - главные.

Связь между элементами эллипса искажений, искажениями К. п. и частными
производными функций (1) устанавливается осн. формулами теории искажений
.

Классификация картографических проекций по положению полюса используемых
сферических координат. Полюсы сферы суть особые точки геогр. координации,
хотя сфера в этих точках не имеет к.-л. особенностей. Значит, при картографировании
областей, содержащих геогр. полюсы, желательно иногда применять не геогр.
координаты, а другие, в к-рых полюсы оказываются обыкновенными точками
координации. Поэтому на сфере используют сферич. координаты, координатные
линии к-рых, т. н. вертикалы (условная долгота на них а = const)
и альмукантараты (где полярные расстояния z= const), аналогичны геогр.
меридианам и параллелям, но их полюс Zo не совпадает с геогр. полюсом P(рис. 1). Переход от геогр. координат,
любой точки сферы к её сферич. координатам z,
при заданном положении полюса Zo (осуществляется по формулам сферич. тригонометрии. Всякая К. п., данная
уравнениями (1), наз. нормальной, или прямой (/Если та же самая проекция сферы вычисляется по тем же формулам (1), в к-рых
вместо,
фигурируют z,а, то эта проекция наз. поперечной при= О и косой, если О <</и поперечных проекций приводит к уменьшению искажений. На рис. 2 показана
нормальная (А), поперечная (Б) и косая (В) ортографические проекции
сферы
(поверхности шара).

Классификация картографических проекций по характеру искажений.

В равноугольных (конформных) К. п. масштаб зависит только от положения
точки и не зависит от направления. Эллипсы искажений вырождаются в окружности.
Примеры - проекция Меркатор, стереографическая проекция.

В равновеликих (эквивалентных) К.п. сохраняются площади; точнее, площади
фигур на картах, составленных в таких проекциях, пропорциональны площадям
соответствующих фигур в натуре, причём коэффициент пропорциональности -
величина, обратная квадрату главного масштаба карты. Эллипсы искажений
всегда имеют одинаковую площадь, различаясь формой и ориентировкой.

Произвольные К. п. не относятся ни к равноугольным, ни к равновеликим.
Из них выделяют равнопроме-жуточные, в к-рых один из главных масштабов
равен единице, и о р т о-дромические, в к-рых большие круги шара (ортодромы)
изображаются прямыми.

При изображении сферы на плоскости свойства равноугольности, равновели-кости,
равнопромежуточности и ортодро-мичности несовместимы. Для показа искажений
в разных местах изображаемой области применяют: а) эллипсы искажений, построенные
в разных местах сетки или эскиза карты (рис. 3); б) изо-колы, т. е. линии
равного значения искажений (на рис. 8В см. изоколы наибольшего искажения
углов со и изоколы масштаба площадей р); в) изображения в некоторых
местах карты некоторых сферич. линий, обычно ортодромий (О) и локсодромий
(Л), см. рис. ЗА, ЗБ и др.

Классификация нормальных картографических проекции по виду изображений
меридианов и параллелей, являющаяся результатом историч. развития
теории
К. п., объем лет большинство известных проекций. В ней сохранились наименования,
связанные с геом. методом получения проекций, однако рассматриваемые их
группы теперь определяют аналитически.

Цилиндрические проекции (рис. 3) - проекции, в к-рых меридианы изображаются
равноотстоящими параллельными прямыми, а параллели - прямыми, перпендикулярными
к изображениям меридианов. Выгодны для изображения территорий, вытянутых
вдоль экватора или к.-л. параллели. В навигации используется проекция Меркатора
- равноугольная цилиндрическая проекция. Проекция Гаусса - Крюге-р а -
равноугольная поперечно-цилиндрическая К. п.- применяется при составлении
топографии, карт и обработке триангуляции.

Конические проекции (рис. 4)-проекции, в к-рых параллели изображаются
концентрическими окружностями, меридианы - ортогональными им прямыми. В
этих проекциях искажения не зависят от долготы. Особо пригодны для территорий,
вытянутых вдоль параллелей. Карты всей территории СССР часто составляются
в равноугольных и равнопромежуточных конич. проекциях. Используются также
как геодезические проекции.

Азимутальные проекции (рис. 5) - проекции, в к-рых параллели - концентрические
окружности, меридианы - их радиусы, при этом углы между последними равны
соответствующим разностям долгот. Частным случаем азимутальных проекций
являются перспективные проекции.

Псевдоконические проекции (рис. 6) - проекции, в к-рых параллели изображаются
концентрич. окружностями, средний меридиан - прямой линией, остальные меридианы
- кривыми. Часто применяется равновеликая псевдоконическая проекция Бонна;
в ней с 1847 составлялась трёхвёрстная (1 : 126 000) карта Европ. части
России.

Псевдоцилиндрические проекции (рис. 8) - проекции, в к-рых параллели
изображаются параллельными прямыми, средний меридиан - прямой линией, перпендикулярной
этим прямым и являющейся осью симметрии проекций, остальные меридианы -
кривыми.

Поликонические проекции (рис. 9) - проекции, в к-рых параллели изображаются
окружностями с центрами, расположенными на одной прямой, изображающей средний
меридиан. При построении конкретных поликонич. проекций ставятся дополнительные
условия. Одна из поликонич. проекций рекомендована для международной (1:1
000 000) карты.

Существует много проекций, не относящихся к указанным видам. Цилиндрические,
конические и азимутальные проекции, называемые простейшими, часто относят
к круговым проекциям в широком смысле, выделяя из них круговые проекции
в узком смысле - проекции, в которых все меридианы и параллели изображаются
окружностями, напр, конформные проекции Лагранжа, проекция Гринтена и др.

Использование и выбор картографических проекций зависят гл. обр.
от назначения карты и её масштаба, к-рыми часто обусловливается характер
допускаемых искажений в избираемой К. п. Карты крупных и средних масштабов,
предназначенные для решения метрич. задач, обычно составляют в равноугольных
проекциях, а карты мелких масштабов, используемые для общих обозрений и
определения соотношения площадей к.-л. территорий - в равновеликих. При
этом возможно нек-рое нарушение определяющих условий этих проекций (
= 0 или р = 1), не приводящее к ощутимым погрешностям, т. е. допустим
выбор произвольных проекций, из к-рых чаще применяют проекции равнопромежуточные
по меридианам. К последним прибегают и тогда, когда назначением карты вообще
не предусмотрено сохранение углов или площадей. При выборе К. п. начинают
с лро-стейших, затем переходят к более сложным проекциям, даже, возможно,
модифицируя их. Если ни одна из известных К. п. не удовлетворяет требованиям,
предъявляемым к составляемой карте со стороны её назначения, то изыскивают
новую, наиболее подходящую К. п., пытаясь (насколько это возможно) уменьшить
искажения в ней. Проблема построения наивыгоднейших К. п., в к-рых искажения
в к.-л. смысле сведены до минимума, полностью ещё не решена.

К. п. используются также в навигации, астрономии, кристаллографии и
др.; их изыскивают для целей картографирования Луны, планет и др. небесных
тел.

Преобразование проекций. Рассматривая две К. п., заданные соответствующими
системами уравнений: x = f,),
y
= f,)
и X = g(,),
У = g(,),
можно, исключая из этих уравнений
и, установить переход от одной
из них к другой:

X =FЭти формулы
при конкретизации вида функций Fдают общий метод получения т. н. производных проекций; во-вторых, составляют
теоретич. основу всевозможных способов и технич. приёмов составления карт
(см. Географические карты). Напр., аффинные и дробно-линейные преобразования
осуществляются при помощи картографических трансформаторов. Однако
более общие преобразования требуют применения новой, в частности электронной,
техники. Задача создания совершенных трансформаторов К. п.- актуальная
проблема современной картографии.

Лит.: Витковский В., Картография, (Теория картографических проекции),
СПБ, 1907; Каврайский В. В., Математическая картография, M. - Л., 1934;
его же, Избр. труды, т. 2, в. 1 - 3, [M.], 1958 - 60; У р мае в H. А.,
Математическая картография, M., 1941; его же, Методы изыскания новых картографических
проекций, M., 1947; Траур А. В., Математическая картография, 2 изд., Л.,
1956; Гинзбург Г. А., Картографические проекции, M., 1951; Мещеряков Г.
А., Теоретические основы математической картографии, M., 1968. Г.А.Мещеряков.