КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА

КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА форма 2-й степени от п переменных
xxxт. е. многочлен от этих переменных,
каждый член к-рого содержит либо квадрат одного из переменных, либо произведение
двух различных переменных. Общий вид К. ф. при п = 2:

ах2+bx2+ схпри
п
=
3:

ах2 + bx2 + cx2
+ dx

где a, b, ...,f -к.-л. числа. Произвольная К. ф. записывается
так:

причем считают, что а= aф. от 2, 3 и 4 переменных непосредственно связаны с теорией линий (на плоскости)
и поверхностей (в пространстве) 2-го порядка: в декартовых координатах
уравнение линии и поверхности 2-го порядка, отнесённых к центру, имеет
вид A(x) =1, т. е. его левая часть является К. ф.; в однородных
координатах левая часть любого ур-ния линии и поверхности 2-го порядка
является К. ф. При замене переменных x...,
хдр.
переменными yявляющимися
линейными комбинациями старых переменных, К. ф. переходит в другую К. ф.
Путём соответствующего выбора новых переменных (невырожденного линейного
преобразования) можно привести К. ф. к виду суммы квадратов переменных,
умноженных на нек-рые числа. При этом ни число квадратов (ранг К. ф.),
ни разность между числом положительных и числом отрицательных коэффициентов
при квадратах (сигнатура К. ф.) не зависят от способа приведения К. ф.
к сумме квадратов (закон и н е р-ц и и). Указанное приведение можно осуществить
даже специальными (т. н. ортогональными) преобразованиями. Геометрически
в этом случае такое преобразование соответствует приведению линии или поверхности
2-го порядка к главным осям.

При рассмотрении комплексных переменных изучаются К. ф. вида

где x- число, комплексно сопряжённое с xЕсли,
кроме того, такая К. ф. принимает только действительные значения (это будет,
когда aaто её наз. эрмитовой.
Для эрмитовых форм справедливы основные факты, относящиеся к действительным
К. ф.: возможность приведения к сумме квадратов, инвариантность ранга,
закон инерции.

Лит.: Мальцев А. И., Основы линейной алгебры, 3 изд., M., 1970.