КВАДРАТИЧНЫЙ ВЫЧЕТ

КВАДРАТИЧНЫЙ ВЫЧЕТ понятие теории чисел. К. в.
о модулю т- число а, для которого сравнение х²=
= a(mod т) имеет решение: при нек-ром целом x число
х²
- а делится на т; если это сравнение не имеет решений, то а
наз. квадратичным невычетом. Напр., если m = 11, то число 3 будет
К. в., так как сравнение х² = 3 (mod H) имеет решения
х
=
5, х = 6, а число 2 будет невычетом, т. к. не существует чисел
х,
удовлетворяющих сравнению х²= 2 (mod H). К. в. являются
частным случаем вычетов степени
n для n = 2. Если
т равно простому нечётному числу
р, то среди чисел 1, 2,
..., p- 1 имеется (р - 1)/2 К. в. и (р - 1)/2
квадратичных
невычетов. Для изучения К. в. по простому модулю р
вводится Лежандра
символ (a/p), определяемый так: если а
взаимно просто с р,
то
полагают (a/p) = 1, когда а- К. в., и (a/p)= -1, когда а- квадратичный
невычет. Основной теоремой в этом круге вопросов является т. н. закон взаимности
К. в.: если р
и q - простые нечётные числа, то

Эту закономерность открыл ок. 1772 Л. Эйлер, совр. формулировка
дана А. Ле-жандром, полное доказательство впервые дал в 1801 К.
Гаусс.
Удобным
обобщением символа Лежандра является Якоби символ.
Закон взаимности
К. в. получил многочисленные обобщения в теории алгебр, чисел. И. M. Виноградовым
и
др. учёными изучалось распределение К. в. и суммы значений символа Лежандра.

Лит.: Виноградов И. M., Основы теории чисел, 8 изд., M., 1972.

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я